Математическа индукция

[lady__bird]

Докажете,че числото 4^n(4на степен n) +15n-1 се дели на 9?
1. за n=1 4+15-1=18 => 19 се дели на 9 --вярно

и нататък не мога,да стигна до решението Ако може някой да ми обясни как да го напиша.
Благодаря

[Добромир Глухаров]

[tex]a_n=4^n+15n-1[/tex]

Допускаме, че [tex]9|a_n[/tex]

[tex]4^n=a_n-15n+1=9k-15n+1[/tex]

[tex]a_{n+1}-a_n=4^{n+1}+15(n+1)-1-4^n-15n+1=4^n(4-1)+15[/tex]

[tex]a_{n+1}-a_n=3.4^n+15=3(4^n+5)=3(9k-15n+1+5)=9(3k-5n+2)[/tex]

[tex]a_{n+1}=a_n+9l \Rightarrow 9|a_{n+1}[/tex]

[Добромир Глухаров]

След мен някой пусна друго решение на задачата. Мисля, че то беше по-добро от моето, но за съжаление авторът му си го изтри.

[Добромир Глухаров]

Беше нещо такова:

1. [tex]n=1\Rightarrow a_1=4+15-1=18,\ 9|a_1[/tex]

2. [tex]n=k,\ a_k=4^k+15k-1[/tex]. Допускаме, че [tex]9|a_k[/tex]

3. [tex]a_{k+1}=4^{k+1}+15(k+1)-1=4.4^k+15k+14=4.4^k+60k-45k-4+18=4(4^k+15k-1)-45k+18[/tex]

[tex]a_{k+1}=4a_k-9.(5k-2)[/tex]

Но [tex]9|a_k\Rightarrow 9|a_{k+1}[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] от ТПМИ: [tex]9|a_n[/tex]

[ptj]

[tex]a_n=4^n+15n-1\equiv 4^n-3n-1\pmod 9[/tex]
За да е изпълнено горното е достатъчно (1): [tex]4^n\equiv 3n+1 \pmod 9[/tex]

[tex]4(3n+1)\equiv 12n+4\equiv 9n +3n+4\equiv 3(n+1)+1 \pmod9[/tex]

От последното може да направим спускане (натрупване на степен на 4 в лявата част) или да го използваме в индукция.

[0xdeadbeef]

След мен някой пусна друго решение на задачата. Мисля, че то беше по-добро от моето, но за съжаление авторът му си го изтри.

[tex]4^n + 15n - 1[/tex].

1. Проверяваме верността на твърдението за [tex]n = 1[/tex].
[tex]4 + 15 - 1 = 18[/tex] - дели се на 9

2. Допускаме, че твърдението е вярно за [tex]n = k[/tex], т.е. [tex]4^k + 15k - 1[/tex] се дели на 9.

3. Ще докажем, че твърдението е вярно за [tex]n=k+1[/tex]
[tex]4^{(k+1)} + 15(k+1) - 1 = 4(4^k + 15k - 1) + 9(2 - 5k)[/tex].

[tex]4^k + 15k - 1[/tex] се дели на 9 (както допуснахме в т.2)
[tex]9(2 - 5k)[/tex] се дели на 9.

[tex]\Rightarrow[/tex] сборът на тези събираеми се дели на 9
[tex]\Rightarrow 4^{(k+1)} + 15(k+1) - 1[/tex] се дели на 9
[tex]\Rightarrow[/tex] според ПМИ твърдението е вярно.

Това беше