Външновписани окръжности и успоредни отсечки?

[mimoslav4eto]

Здравейте!
Ето че опирам до вашата помощ, за което благодаря предварително
Задачата е такава:
▲ABC, в който AC≠BC. Една от външновписаните окръжности се допира до страта AC в т. M[tex]\in[/tex]AC, а другата - в т. N[tex]\in[/tex]BC.Вътрешновписаната окръжност K има център О. Построена е правата CO, която пресича описаната около триъгълника окръжност в т. P. Спусната е права през P, която е перпендикулярна на CO, и пресича AB в точка Q.
Да се докаже, че OQ е успоредна на MN.
Много бих се радвал ако някой помогне, понеже мислих по задачата, но не измислих много...
Ето и немного добрия чертеж, който успях да "сглобя"

[ganka simeonova]

Уникална задача, която направо си е олимпиадна; доста ме изтормози, но като я реших, яко се изкефих
Ясно е, че [tex]CM=p-a; CN=p-b[/tex]. Построяваме [tex]OK\bot AQ=>AK=p-a; KB=p-b[/tex]
[tex]\angle OKQ=\angle OPQ=90^\circ =>OKPQ[/tex]-вписан=>[tex]\angle PQK=\angle POQ[/tex]
За да докажем успоредността, достатъчно е да док, че [tex]\angle MLC=\angle POQ[/tex]
T.e да док, че [tex]\angle MLC=\angle PKB[/tex]
1) CL- ъглополовяща=>[tex]\frac{CM}{ CN} =\frac{ML}{ LN} =\frac{AK}{ KB} =\frac{p-a}{ p-b}[/tex] (1)

2)Тук е ключовият момент. Построяваме [tex]MF||CB (F\in CP)=>\frac{FL}{LC } =\frac{ML}{LN} =\frac{MF}{CN }[/tex] (2)
3) От подобието на[tex]\Delta CMF; \Delta APB=>\frac{CM}{PB } =\frac{CF}{AB }[/tex]

(1)+(2)=>[tex]\frac{Fl}{LC } =\frac{AK}{ KB} |+1=>\frac{FC}{ LC} =\frac{AB}{ KB} =>[/tex]

[tex]\frac{FC}{ AB} =\frac{LC}{ KB} =\frac{CM}{PB }[/tex] (*)
[tex]\angle MCF=\angle ABP=\frac{\gamma }{ 2}[/tex](**)
(*)+(**)=>подобие на [tex]\Delta MCL; \Delta PBK[/tex]=>[tex]\angle MLC=\angle PKB=>\angle MLC=\angle POQ=>ML||OQ[/tex]

[mimoslav4eto]

Аз се мъчих доста и все пак намерих решение, но то е с доста тригонометрия и е по-тежко.
Много интересен начин според мен, на мен ми харесва!
Благодаря!