Математическа индукция

[mail_dinko]

Здравейте! От миналата седмица в четвъртък започнахме математическа индукция. Аз отначало бях много уплашен от новите задачи, но като реших няколко вече нямах проблем .... до сега

Задачите, които решавам успешно нямат n в знамнателя

Сега тази, която публикувам има n в знаменателя. Подозирам, че имам грешка в опростяването или скобите някъде, но не я намирам. Моля за помощ

Та ето я и задачата:
[tex]\frac{1}{1.3 } +\frac{1}{3.5 }+\frac{1}{5.7 }+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1) }=\frac{n}{2n+1 }[/tex]

Първа стъпка n=1. След заместване получавам
[tex]\frac{1}{3 }=\frac{1}{3 }[/tex]

Втора стъпка n=k
[tex]\frac{1}{1.3 } +\frac{1}{3.5 }+\frac{1}{5.7 }+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1) }=\frac{k}{2k+1 }[/tex]

Трета стъпка n=k+1
[tex]\frac{1}{1.3 } +\frac{1}{3.5 }+\frac{1}{5.7 }+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k-1+1)(2k+1+1) } =\frac{k+1}{2k+1+1 }[/tex]
[tex]\frac{1}{1.3 } +\frac{1}{3.5 }+\frac{1}{5.7 }+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{2k(2k+2) } =\frac{k+1}{2k+2 }[/tex]
Обработвам лявата и дясната част
[tex]\frac{1}{1.3 } +\frac{1}{3.5 }+\frac{1}{5.7 }+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{4k(k+1) } =\frac{k+1}{2(k+1) }[/tex]
В дясната страна съкращавам
[tex]\frac{1}{1.3 } +\frac{1}{3.5 }+\frac{1}{5.7 }+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{4k(k+1) } =\frac{1}{2 }[/tex]
[tex]\frac{k}{2k+1 }+\frac{1}{4k(k+1) }=\frac{1}{ 2}[/tex]
Работя само с лявата страна. Според мен трябва да докажа, че след опростяване се получава дясната
[tex]\frac{k}{2k+1 }+\frac{1}{4k(k+1) }=\frac{4k^{2}(k+1)+2k+1}{ 4k(k+1)(2k+1)}=\frac{4k^{3}+4k^{2}+2k+1}{4k(2k^{2}+2k+k+1) }=\frac{4k^{3}+4k^{2}+2k+1}{ 8k^{3}+8k^{2}+4k^{2}+4k}=[/tex]
[tex]=\frac{4k^{3}+4k^{2}+2k+1}{ 8k^{3}+12k^{2}+4k}=[/tex] до тук съм
пробвах Хорнер за числител и знаменател, но не става. Явно проблемът е в мен.

[Xixibg]

Грешиш В третата ти стъпка като заместиш [tex]n=k+1[/tex] трябва да сложиш скоби...
[tex]2n+1=2(k+1)+1=2k+3[/tex]

[tex]f(k)=\frac{k}{2k+1}[/tex]
[tex]f(k+1)=f(k)+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=[/tex]

[tex]=\frac{k(2k+3)}{(2k+1)(2k+3)}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}=[/tex]

[tex]=\frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}[/tex]

С което задачата е доказана

[mail_dinko]

Благодаря. Разбрах къде греша - при заменянето на к с к+1