Височина, медиана и ъглополовяща се пресичат в 1 точка

[keith]

Искам да попитам някой знае ли какво следва от това, че височина, медиана и ъглополовяща в произволен триъгълник, всяка спусната от различен връх, се пресичат в една точка.
Имам да докажа, че ако ъглополовящата през А, медианата през В и височината през С, се пресичат в една точка, е изпълнено: tgA=sinC/cosB.

[strangerforever]

Нека ъглополовящата е AL, медианата - BM и височината - CH.

Тогава от теоремата на Чева имаме:

[tex]\frac{CL}{BL}.\frac{BH}{AH}.\frac{AM}{CM} = 1 \Leftrightarrow \frac{AC}{AB}.\frac{cotg\beta.CH}{cotg\alpha.CH}.\frac{\cancel{AM}}{\cancel{CM}} = 1 \Leftrightarrow \frac{sin\beta}{sin\gamma}.\frac{cotg\beta.\cancel{CH}}{cotg\alpha.\cancel{CH}} = 1 \Leftrightarrow \frac{cos\beta}{sin\gamma} = cotg\alpha \Leftrightarrow tg\alpha = \frac{sin\gamma}{cos\beta}[/tex]

[keith]

Blagodarq!