текстови задачи и лихва

[ppetrov]

1. Между числата 5 и 135 вместете две числа, които с дадените да образуват геометрична прогресия. Намерете числата.

2. Три числа, чийто сбор е 42, образуват растяща геометрична прогресия. Ако към първото число прибавим 2, а от третото извадим 8, ще получим аритметична прогресия. Намерете числата.

3. Сборът на три числа, които образуват геометрична прогресия, е 42. В същия ред тези числа са първи, втори и шести член на растяща аритметична прогресия. Намерете числата.

4.Сборът на три числа, образуващи аритметична прогресия, е 12. Ако към третото число прибавим 2, ще се получи геометрична прогресия. Намерете числата.

5.Сборът на три числа, образуващи геометрична прогресия, е 84. Намерете тези числа ако те са съответно първи, седми и деветнадесети член на аритметична прогресия.

и за лихва:
Сума от 5000 лева е депозирана в банка при сложна лихва 10%. След колко години сумата ще стане по-голяма от 6050 лева? (тази доста я мъчих, не мога да се сетя как ще стане без да знам годините.

[mail_dinko]

Задача 1 ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ
Дадени са числата:
[tex]a_1; a_2; a_3; a_4[/tex]
[tex]5; a_2; a_3; 135[/tex]
[tex]a_4=a_1.q^3[/tex]
[tex]135=5q^3|:5[/tex]
[tex]27=q^3[/tex]
[tex]q=3[/tex]
Намираме двете числа
[tex]a_2=aq=5.3=15[/tex]
[tex]a_3=aq^2=5.3^2=45[/tex]
Ето и първите четири члена на редицата
[tex]5;15;45;135[/tex]

[mail_dinko]

ЗАДАЧА 2.
Дадена е геометрична прогресия и сумата на първите и три члена
[tex]a_1+a_2+a_3=42[/tex]
[tex]a_1+a_1q+a_1q^2=42[/tex]
понеже е растяща, имаме [tex]DM: q>1[/tex]
Дадена е аритметична прогресия
[tex]a_1+2;a_1q;a_1q^2-8[/tex]
Прилагаме средно аритметично
[tex]a_1q= \frac {a_1+2+a_1q^2-8}{2}[/tex]
на кръст
[tex]2a_1q=a_1+2+a_1q^2-8[/tex]
След прехвърляне се получава:
[tex]a_1q^2-2a_1q+a_1=6[/tex]
Това обединяваме в система с четвъртия ред от решението
[tex]\begin{tabular}{|l}a_1q^2-2a_1q+a_1=6\\a_1+a_1q+a_1q^2=42 \end{tabular}[/tex]
Системи от този тип се решават с делене, при съответни ДС
[tex]\frac{a_1q^2-2a_1q+a_1}{a_1+a_1q+a_1q^2 } =\frac{6}{42 }[/tex]
Съкращаваме след равното, изнасяме в първата дроб каквото можем
[tex]\frac{a_1(q^2-2q+1)}{a_1(1+q+q^2 )} =\frac{1}{7 }[/tex]
[tex]DM:[/tex]
[tex]a_1\ne 0[/tex]
[tex]q^2+q+1\ne0[/tex]
Съкращаваме на изнесеното пред скобите. На кръст умножаваме
[tex]7q^2-14q+7=1+q+q^2[/tex]
[tex]6q^2-15q+6=0|:3[/tex]
[tex]2q^2-5q+2=0[/tex]
[tex]D=25-16=9=3^2[/tex]
[tex]q_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4 }[/tex]
[tex]q_1=2 \in DM[/tex]
[tex]q_2=\frac{1}{2 } \notin DM[/tex]
Връщаме се в едно от уравненията от системата, без значение в кое
[tex]a_1q^2-2a_1q+a_1=6[/tex]
Заместваме
[tex]a_1.4-2a_1.2+a_1=6[/tex]
[tex]4a_1-4a_1+a_1=6[/tex]
[tex]a_1=6[/tex]
от тук намираме първият член на геометричната прогресия
а после и цялата прогресия
[tex]a_1=6[/tex]
[tex]a_2=6.2=12[/tex]
[tex]a_3=6.2.2=24[/tex]
[tex]6;12;24[/tex]

[mail_dinko]

Задача 3.
Дадена е геометрична прогресия и сумата на първите и три члена
[tex]a_1+a_2+a_3=42[/tex]
[tex]a_1+a_1q+a_1q^2=42[/tex]
Аритметична, растяща:
[tex]a_1=a_1[/tex]
[tex]a_2=a_1q[/tex]
[tex]a_6=a_1q^2[/tex]
[tex]a_2=a_1+d--->d=a_2-a_1--->d=a_1q-a_1[/tex]
[tex]a_6=a_1+5d--->a_1q^2-a_1=5d--->d=\frac{a_1q^2-a_1}{5 }[/tex]
Приравняваме [tex]d=d[/tex]
[tex]a_1q-a_1=\frac{a_1q^2-a_1}{5 }|.5[/tex]
[tex]5a_1q-5a_1=a_1q^2-a_1[/tex]
прехвърляме и получаваме
[tex]a_1q^2-5a_1q+4a_1=0[/tex]
Правим система, решаваме я с деление, при съответните ДС
[tex]\begin{tabular}{|l}a_1q^2-5a_1q+4a_1=0\\a_1+a_1q+a_1q^2=42 \end{tabular}[/tex]
[tex]\frac{a_1(q^2-5q+4)}{a_1(1+q+q^2) } =\frac{0}{42 }[/tex]
[tex]a_1\ne 0[/tex]
[tex]q\ne 1[/tex]
Тука на кръст и става
[tex]q^2-5q+4[/tex]
[tex]D=25-16=9=3^2[/tex]
[tex]q_{1,2}=\frac{5\pm3 }{2 }[/tex]
[tex]q_1=4\in DM[/tex]
[tex]q_2=1 \notin DM[/tex]
Връщаме се в едно от уравненията от системата и заместваме с 4
[tex]a_1+a_1q+a_1q^2=42[/tex]
[tex]a_1+4a_1+16a_1=42[/tex]
[tex]21a_1=42|:21[/tex]
[tex]a_1=2[/tex]
Геометричната прогресия има членове
[tex]a_1=2[/tex]
[tex]a_2=2.4=8[/tex]
[tex]a_3=2.4.4=32[/tex]
[tex]2;8;32[/tex]

[mail_dinko]

Задача 4.
Дадена е аритметична прогресия
[tex]a_1+a_2+a_3=12[/tex]
[tex]a_1+a_1+d+a_1+2d=12[/tex]
[tex]3a_1+3d=12|:3[/tex]
[tex]a_1+d=4[/tex]
Ако към третото число прибавим 2, ще получим геометрична прогресия
[tex]a_1;a_1+d;a_1+2d+2[/tex]
Прилагаме средно геометрично, преобразуваме израза и правим система
[tex](a_1+d)^2=a_1(a_1+2d+2)[/tex]
[tex](a_1+d)^2=a_1(a_1+d+d+2)[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}a_1+d=4\\(a_1+d)^2=a_1(a_1+d+d+2) \end{tabular}[/tex]
Сега първото от системата го заместваме навсякъде където го имаме във второто
[tex]4^2=a_1(4+d+2)[/tex]
[tex]16=a_1(d+6)[/tex]
Нова система
[tex]\begin{tabular}{|l}a_1+d=4--->d=4-a_1\\16=a_1(d+6) \end{tabular}[/tex]
[tex]16=a_1(4-a_1+6)[/tex]
[tex]16=a_1(10-a_1)[/tex]
[tex]16=10a_1-a_1^2[/tex]
[tex]a_1^2-10a_1+16=0[/tex]
[tex]D=25-16=9=3^2[/tex]
[tex]a_1=8--->d=4-a_1=4-8=-4[/tex]
Редицата е
[tex]a_1=8[/tex]
[tex]a_2=8-4=4[/tex]
[tex]a_3=8-4-4=0[/tex]
или
[tex]a_1=2--->d=4-a_1=4-2=2[/tex]
Редицата е
[tex]a_1=2[/tex]
[tex]a_2=2+2=4[/tex]
[tex]a_3=2+2+2=6[/tex]

[tex]8;4;0[/tex]
или
[tex]2;4;6[/tex]

[mail_dinko]

Задача 5.
Дадена е геометрична прогресия и сумата на първите и три члена
[tex]a_1+a_2+a_3=84[/tex]
[tex]a_1+a_1q+a_1q^2=84[/tex]
Аритметична:
[tex]a_1=a_1[/tex]
[tex]a_7=a_1q[/tex]
[tex]a_19=a_1q^2[/tex]
[tex]a_7=a_1+6d--->6d=a_7-a_1--->d= \frac {a_1q-a_1}{6}[/tex]
[tex]a_{19}=a_1+18d--->18d=a_{19}-a_1---->d=\frac {a_{1}q^2-a_1}{18}[/tex]
Приравняваме [tex]d=d[/tex]
[tex]\frac {a_1q-a_1}{6}=\frac {a_{1}q^2-a_1}{18}|.18[/tex]
[tex]3a_1q-3a_1=a_1q^2-a_1[/tex]
[tex]a_1q^2-3a_1q+2a_1=0[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}a_1q^2-3a_1q+2a_1=0\\a_1+a_1q+a_1q^2=84 \end{tabular}[/tex]
Изнасяш а пред скоби, аналогично на предните задачи ... пишеш ДМ и т.н
Получава се
[tex]q^2-3q+2=0[/tex]
[tex]q_1=2 \in DM[/tex]
[tex]q_2 = 1 \notin DM[/tex]
Връщаш се, заместваш, получава се
[tex]a_1+a_1q+a_1q^2=84[/tex]
[tex]a_1+2a_1+4a_1=84[/tex]
[tex]7a_1=84|:7[/tex]
[tex]a_1=12[/tex]
Редицата е
[tex]12;24;48[/tex]

[mail_dinko]

Задача 6.
[tex]K_n=6050[/tex]
[tex]K=5000[/tex]
[tex]p=10%= \frac {10}{100}[/tex]
[tex]n=?[/tex]
[tex]K_n<K.(1+ \frac {p}{100})^n[/tex]
[tex]6050<5000.(1+0,1)^n[/tex]
[tex]6050<5000.1,1^n|:5000[/tex]
[tex]1,21<1,1^n[/tex]
[tex](1,1)^2<1,1^n[/tex]
[tex]2<n[/tex]
[tex]n>2[/tex]
Трябва да минат повече от две години

[ppetrov]

Много благодаря!