Задачи по Тригонометрия

[Blackstar]

Здравейте.Имам затруднения с 3 задачи. Надявам се да ми помогнете да ги реша, дори ще е най-добре, ако ми напишете решенията Ще съм Ви много благодарен.

Ето ги и задачите:

1.Да се реши уравнението: √sin3x=√sinx
Тук се пробвах на тази задача.Повдигнах на втора степен и написах това решение:

sin(2x+x)-sinx=0

sin2xcosx + cos2xsinx-sinx = 0

2sinxcos²x + (cos²x - sin²x) sinx - sinx = 0

2sinxcos²x + cos²xsinx - sin³x -sinx=0

sinx(2cos²x + cos²x - sin²x - 1) = 0

sinx(3cos²x - sin²x -1) =0

3cos^2х - sin^2x- 1 = 0

3cos^2x - (1- cos^2x) - 1 = 0

3cos^2x - 1 + cos^2x - 1 = 0

4cos^2х - 2 = 0

cos^2х = 1/2

Вярно ли е решението?

Останалите две задачи не мога да ги реша.Моля Ви, помогнете ми.

2.Да се реши уравнението: sin2x+tgx=2

3.Дадена е функция f(x)=3-2x-x² и уравнението 2cos²x+cos4x=0
а) Решете уравнението
б) Намерете най-голямата стойност на функцията f(x), когато х се изменя в множеството от решенията на уравнението.

[Xixibg]

Ами някои неща са верни ама аз решение не видях

[Blackstar]

В този случай щом нищо не съм направил, би ли ми написал решението ? Моля те

[Xixibg]

[tex]\sqrt{sin3x}=\sqrt{x}[/tex]
1.Допустими стойности:[tex]sinx\ge0 ; =>x\in [0;\pi]+2k\pi (1); sin3x\ge0 ; =>x\in [0;\frac{\pi }{3}]+\frac{2k\pi}{3} ;
(2)[/tex]
[tex](1)\cap (2)=>DM: x\in [0;\frac{\pi }{3}]\cup [\frac{2\pi }{3},\pi ]+2k\pi[/tex]
[tex]=>sin3x=sinx[/tex]
[tex]=>sin(2x+x)-sinx=0[/tex]
[tex]=>sin2x.cosx+sinx.cos2x-sinx=0[/tex]
[tex]=>2sinx.cos^2x+sinx(2cos^2x-1)-sinx=0[/tex]
[tex]=>sinx(2cos^2x+2cos^2x-1-1)=0[/tex]
[tex]=>4sinx(cos^2x-\frac{1}{2})=0[/tex]
[tex]=>4sinx(cosx-\frac{\sqrt{2}}{2})(cosx-\frac{\sqrt{2}}{2})=0[/tex]
[tex]=>sinx=0 ; =>x_1=k\pi[/tex]
[tex]=>cosx-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 ; =>cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}; =>x_2=\frac{\pi}{4}+2k\pi \in DM ; x=x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi \notin DM[/tex]
[tex]=>cosx+\frac{\sqrt{2}}{2}=0 ; =>cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}; =>x_3=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \in DM ; x=x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \notin DM[/tex]

[Blackstar]

Много ти благодаря

[Xixibg]

3.a)[tex]2cos^2x+cos4x=0[/tex]
[tex]2cos^2x+2cos^22x-1=0[/tex]
[tex]cos2x+2cos^22x=0[/tex]
[tex]cos2x(1+2cos2x)=0[/tex]
[tex](2cos^2x-1)(1+4cos^2x-2)=0[/tex]
[tex]2(cosx-\frac{\sqrt{2}}{2})(cosx+\frac{\sqrt{2}}{2})(2cosx-1)(2cosx+1)=0[/tex]
[tex]8(cosx-\frac{\sqrt{2}}{2})(cosx+\frac{\sqrt{2}}{2})(cosx-\frac{1}{2})(cosx+\frac{1}{2})=0[/tex]
[tex]x=\pm \frac{\pi }{4}+2k\pi ; x=\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi ; x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ;x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi[/tex]
[tex]=>x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi}{2} ; x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi}{2}[/tex]

3.b)[tex]f(x)[/tex] е растяща за [tex]x\in (-\infty ;-1)[/tex] и намаляваща за [tex]x\in (1 ;\infty )[/tex]
[tex]f(x)\ge0 ; x\in [-3,1][/tex] Решенията на а) от този интервал са:[tex]x=-\frac{5\pi }{6} ; x=-\frac{3\pi }{4} ; x=-\frac{\pi }{3} ; x=-\frac{\pi }{4} ; x=\frac{\pi }{4}[/tex]
[tex]=>f(-\frac{\pi }{3})>f(-\frac{3\pi }{4})>f(-\frac{5\pi }{6})[/tex]
[tex]=>f(-\frac{\pi }{4})>f(\frac{\pi }{4})[/tex]
[tex]f(-\frac{\pi }{3})=3-2(-\frac{\pi }{3})-(-\frac{\pi }{3})^2=\frac{27+6\pi -\pi^2}{9}\approx 4[/tex]
[tex]f(-\frac{\pi }{4})=3-2(-\frac{\pi }{4})-(-\frac{\pi }{4})^2=\frac{48+8\pi -\pi^2}{16}\approx 3,95[/tex]
[tex]=>[/tex] Търсената стойност е [tex]f(-\frac{\pi }{3})=\frac{27+6\pi -\pi^2}{9}\approx 4[/tex]

[Blackstar]

Много ти благодаря.

[Xixibg]

2.[tex]tgx=p[/tex]
[tex]sin2x=\frac{2tgx}{1+tg^2x}=\frac{2p}{1+p^2}[/tex]
[tex]=>sin2x+tgx-2=0[/tex]
[tex]=>\frac{2p}{1+p^2}+p-2=0[/tex]
[tex]=>p^3-2p^2+3p-2=0[/tex]
[tex]=>(p-1)(p^2-p+2)=0[/tex]
[tex]=>p=1[/tex]([tex]p^2-p+2>0[/tex] за всяко [tex]p[/tex])
[tex]=>tgx=1 ; =>x=\frac{\pi }{4}+k\pi[/tex]

[Blackstar]

Много ти благодаря! Задължен съм ти.Спаси ме от сигурна двойка в Понеделник.Благодаря ти отново