Приложение на тригонометрията в планиметрията

[silviq_ilieva]

Хипотенузата на правоъгълен триъгълник се дели от допирната точка на вписаната окръжност в отношение 3:4. Да се намери косинусът на по-малкия остър ъгъл на триъгълника .... Ако някой може да я реши , ще съм му много благодарна

[Xixibg]

[tex]AH=3x ; BH=4x ; =>AB=c=7x[/tex]
[tex]AH=p-a=\frac{b+c-a}{2}=3x ; =>a-b=x ; =>b=a-x[/tex]
[tex]a^2+b^2=c^2 ; =>a^2+a^2-2ax+x^2=49x^2[/tex]
[tex]=>a^2-ax-24x^2=0[/tex]
[tex]D=x^2+96x^2=97x^2[/tex]
[tex]a_1=\frac{x(1+\sqrt{97})}{2} ; a_2<0 n.r.[/tex]
[tex]=>cos\beta =\frac{a}{c}=\frac{1+\sqrt{97}}{14}[/tex]

[ammornil]

Тук следва да се обясни, че понеже b=a-x то b<a, следователно ъгълът лежащ срещу b (в случая стандартно означен с β, но в общия случай това е [tex]\angle ABC[/tex] е по-малкия остър ъгъл, тъй-като в триъгълник срещу по къса страна лежи по-малък ъгъл и обратното.