Тригонометрично уравнение

[lamptz]

Да се реши уравнението:
[tex]sin^{2}x - 2sinxcos -3cos^{2}x=0[/tex]
и получавам [tex]x=-\pi /4-k\pi k \in Z[/tex]
и има още един клон 3cosx-sinx=0 и не знам кво да го правя ...

[ammornil]

[tex]sin^{2}x-2.sinx.cosx-3.cos^{2}x=0[/tex]

ДМ: [tex]\forall x \in R[/tex]

[tex](sin^{2}x-2.sinx.cosx+cosx^{2}x)-cos^{2}x-3.cos^{2}x=0 \Longleftrightarrow (sinx-cosx)^{2}-(2.cosx)^{2}=0 \Rightarrow[/tex]

[tex](sinx-cosx-2.cosx).(sinx-cosx+2.cosx)=0 \Rightarrow[/tex]

[tex]sinx-3.cosx=0 \cup[/tex] [tex]sinx+cosx=0[/tex]

от тригонометрията знаем, че: [tex]sinx=\frac{2.tg\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}[/tex] и [tex]cosx=\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}[/tex]
За улеснение ще положим [tex]tg\frac{x}{2}=t \Longleftrightarrow x=2.arctg (t)[/tex]

[tex]\frac{2.t}{1+t^{2}}-3.\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=0 \cup[/tex] [tex]\frac{2.t}{1+t^{2}}+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=0[/tex]

Тъй като всички дроби имат равни знаменатели и изразът [tex]1+t^{2}>0[/tex] за всяко t, можем да ги пропуснем и:

[tex]2.t-3.t-3.t^{2}=0 \cup[/tex] [tex]2.t+1-t^{2}=0

[lamptz]

добре, ти ползваш формулите за универсална субституция, обаче не видях отговор.

[Xixibg]

[tex]sin x=3cos x ; =>x\in [0;\frac{\pi }{2}]\cup [\pi ;\frac{3\pi }{2}]+2k\pi[/tex]
[tex]=>sin^2x=9cos^2x[/tex]
[tex]=>10cos^2 x=1[/tex]
[tex]=>cos^2 x=\frac{1}{10}[/tex]
[tex]=>cosx=\pm \frac{\sqrt{10}}{10} ; =>sin x=\pm \frac{3\sqrt{10}}{10} (sin x , cos x[/tex] са с еднакви знаци[tex])[/tex]

[tex]sin x=-cos x ; =>x=\frac{3\pi }{4}+k\pi[/tex]

[strangerforever]

Да се реши уравнението:
[tex]sin^{2}x - 2sinxcos -3cos^{2}x=0[/tex]
и получавам [tex]x=-\pi /4-k\pi k \in Z[/tex]
и има още един клон 3cosx-sinx=0 и не знам кво да го правя ...

[tex]tgx = t[/tex]

[tex]t^2 - 2t - 3 = 0[/tex]
[tex]t_1 = 3 \Rightarrow x = tan^{-1}(3) + k\pi[/tex]
[tex]t_2 = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi[/tex]

[lamptz]

в крайна сметка отговора [tex]x=-\pi /4 -k\pi[/tex]
не е верен така ли ?? ..

[ammornil]

извинете, разпадна ми се мрежата...
в същност израз [tex]sinx+cosx=0[/tex] има две решения:[tex]x=-\frac{\pi}{4}\pm2.k.\pi \cup[/tex] [tex]x=\frac{3.\pi}{4}\pm2.k.\pi[/tex]
---
[tex]sin^{2}x-2.sinx.cosx-3.cos^{2}x=0[/tex]

ДМ: [tex]\forall x \in R[/tex]

[tex](sin^{2}x-2.sinx.cosx+cosx^{2}x)-cos^{2}x-3.cos^{2}x=0 \Longleftrightarrow (sinx-cosx)^{2}-(2.cosx)^{2}=0 \Rightarrow[/tex]

[tex](sinx-cosx-2.cosx).(sinx-cosx+2.cosx)=0 \Rightarrow[/tex]

[tex]sinx-3.cosx=0 \cup[/tex] [tex]sinx+cosx=0[/tex]

от тригонометрията знаем, че при [tex]x\ne0[/tex] : [tex]sinx=\frac{2.tg\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}[/tex] и [tex]cosx=\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}[/tex]. Очевидно х=0 не е решение на задачата (проверка чрез заместване го показва) затова можем да разгледаме само субституцията без да я обединяваме с х=0.
За улеснение ще положим още [tex]tg\frac{x}{2}=t \Longleftrightarrow x=2.arctg (t)[/tex], като вземем в предвид, че [tex]x\ne0 \Rightarrow t\ne0[/tex]

[tex]\frac{2.t}{1+t^{2}}-3.\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=0 \cup[/tex] [tex]sinx+cosx=0[/tex]

[tex]2.t-3.t+3.t^{2}=0\cup[/tex] [tex]sinx=-cosx |(...)^{2}[/tex]
Важно е да запомним, че само ъгпи при които синус и косинус са с противоположни знаци ще бъдат решения!
[tex]3.t^{2}-t=0\cup[/tex] [tex]sin^{2}x=cos^{2}x(=1-sin^{2}x)[/tex]

[tex]3.t.(t-\frac{1}{3}=0\cup[/tex] [tex]2.sin^{2}x=1[/tex]

[tex]t_{_{1}}=0\notin DMt \cup[/tex] [tex]t_{_{2}}=-\frac{1}{3}\cup[/tex] [tex]sinx=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]x_{_{1}}=2.arctg(-\frac{1}{3})\cup[/tex] [tex]x_{_{2,3}}=arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})\cup[/tex] [tex]x_{_{4,5}}=arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex]

[tex]x_{_{1}}=2.arctg(-\frac{1}{3})\cup[/tex] [tex]x_{_{2}}=-\frac{\pi}{4}\pm2.k.\pi \cup[/tex] [tex]x_{_{3}}= -\frac{3.\pi}{4}\pm2.k.\pi \notin (sinx=-cosx)\cup[/tex] [tex]x_{_{4}}=\frac{\pi}{4}\pm2.k.\pi \notin (sinx=-cosx)\cup[/tex] [tex]x_{_{5}}=\frac{3.\pi}{4}\pm2.k.\pi[/tex]

Най-накрая получаваме:

[tex]x_{_{1}}=-2.arctg(\frac{1}{3})\cup[/tex] [tex]x_{_{2}}=-\frac{\pi}{4}\pm2.k.\pi \cup[/tex] [tex]x_{_{3}}=\frac{3.\pi}{4}\pm2.k.\pi[/tex]

[ganka simeonova]

х2 и х3 могат да се обединят и ще се получи решението на автора на поста