Най-малка стойност

[keith]

За реалните числа x, y и а е изпълнено x+y=2a+1 и x^2+y^2=a^2+2a-3. За кои стойности на а произведението x.y приема най-малка стойност?

[amsara]

За реалните числа x, y и а е изпълнено x+y=2a+1 и x^2+y^2=a^2+2a-3. За кои стойности на а произведението x.y приема най-малка стойност?

Пиша такова решение , за каквото аз се сещам с материала, който знам. Сигурно в 11 клас има и друг начин.
[tex](x+y)^2=x^2+2xy+y^2 =(2a+1)^2=4a^2+4a+1[/tex]
[tex]x^2+2xy+y^2 =4a^2+4a+1[/tex]
[tex]a^2+2a-3 +2xy = 4a^2+4a+1[/tex]
[tex]3a^2+2a+4=2xy[/tex]
[tex]xy=(3a^2+2a+4)/2[/tex]

Интересува ни стойността на параметъра а, за която числителят приема най-малка стойност.
Ползваме метода с допълване до точен квадрат.
[tex](\sqrt{3}a)^2 + 2.\sqrt{3}a.\frac{\sqrt{3} }{3 } +(\frac{\sqrt{3} }{3 })^2 + \frac{11}{3 }[/tex]
[tex](\sqrt{3}a + \frac{\sqrt{3} }{3 })^2 + \frac{11}{3 }[/tex]
Минималната стойност, която може да приеме числителят е [tex]\frac{11}{ 3}[/tex]
Следователно минималната стойност на дробта е [tex]\frac{1}{ 3} :2 =\frac{11}{6 }[/tex]
При коя стойност на а?
[tex]\sqrt{3}a +\frac{\sqrt{3} }{ 3} =0 <=>3\sqrt{3}a=-\sqrt{3} =>a=-\frac{1}{3 }[/tex]

Дано само да е правилно.

[Xixibg]

Да има някои неща които се учат и става много лесно.
В тази задача е следното:
Минималната стойност на квадратен тричлен [tex]ax^2+bx+c (a>0)[/tex] е във върха на параболата [tex]x=\frac{-b}{2a}[/tex] , така че след като си изразила [tex]xy=\frac{3a^2+2a+4}{2}[/tex] директно намираш [tex]a=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3} ; xy=\frac{11}{6}[/tex]

[amsara]

Благодаря.Аз се отнесох с материал за 7 клас. А в интерес на истината това за върха на параболата съм го срещала тук, но не се сетих. Аз в горния си пост от невнимание съм пропуснала една единица. В смисъл, че трябва да е:
[tex]\frac{11}{3 }:2=\frac{11}{6 }[/tex]

А ти пък си сложил погрешен знак минус в минималната стойност на ху.Трябва да е +.

[Xixibg]

Оправих го.Останал е от копирането
А похвално е че се опитваш със задачи за 11 клас и както сама забелязваш може да се намери решение и с материал достъпен за по-малки ученици(е малко по дълго става решението , но .....все пак е решение )

[inveidar]

Задачата е некоректна! Няма реални числа x и y, за които да са изпълнени горните равенства!

[inveidar]

Решенията, които сте пуснали, са непълни, защото не отчитат казаното в условието, че числата x,y и a са реални. За да допълните решенията си трябва да изразите едното неизвестно чрез другото, да заместите във второто уравнение и да получите квадратно уравнение относно едното неизвестно, което за да има решение, трябва да има неотрицателна дискриминанта. От това се получава интервал(или интервали) за а. Там трябва да се търси минимума. В случая дискриминантата е отрицателна, което обезсмисля задачата.

[keith]

Благодаря за решението!

[inveidar]

Ми то решенията са грешни. Я виж да не си преписала нещо грешно в условието?

[Xixibg]

Много си прав inveidar
Аз мисля че задачата е така написана и в сборника и на авторът не му е минало през акъла че е некоректна.

[inveidar]

Аз намерих задачата в едни мои стари записки и там дясната страна на първото уравнение е 2а-1. Тогава вече нещата са различни. Явно е преписана грешно или от ученика, или от учителят му!

[ganka simeonova]

Аз намерих задачата в едни мои стари записки и там дясната страна на първото уравнение е 2а-1. Тогава вече нещата са различни. Явно е преписана грешно или от ученика, или от учителят му!

Да, задачата е от Ленинградския Държавен Университет и НМС се достига за [tex]a=2-\frac{\sqrt{2} }{ 2}[/tex]

[keith]

В условието в сборник е 2а +1 и изведнъж в упътването дадено отзад го решават със 2а - 1. Аз как да разбера къде е грешката, затова и публикувах задачата.