2 Задачи от Зависимости между страни и ъгли в триъгълник

[jyjit0o0]

1 зад.:Отсечката АР е ъглополовяща в триъгълника АВС. Известно е, че ВР=16, СР=20 и че центърът на окръжността, описана около триъгълник АВР, лежи върху отсечката АС. Намерете АВ.

2 зад.:Даден е равнобедрен триъгълник АВС с радиус на вписаната окръжност r и радиус на описаната окръжност R.
а) докажете, че разстоянието между центровете на двете окръжности е равно на √(R(R-2r)) .
б) намерете лицето на триъгълник АВС, ако R=10 cm, r=3 cm.

[Paincho]

Зад. 1

От основното свойство на ъглополовящата получаваме:
[tex]\frac{PB}{PC} = \frac{AB}{AC}[/tex]

[tex]\frac{4}{5} = \frac{AB}{AC}[/tex]

(1) [tex]AC=\frac{5}{4}AB[/tex]

След това прилагаме питагорова теорема за APC и APB:

[tex]AC^{2} = AP^{2} + 400[/tex]
[tex]AB^{2} = AP^{2} + 256[/tex]

AP е общо и го заместваме:

[tex]AB^{2}=AC^{2} - 144[/tex]

На мястото на AC заместваме получилото се по-горе (1):

[tex]AB^{2}=(\frac{5}{4}AB)^{2} -144[/tex]
[tex]AB = 16[/tex]

Само че си сметни сметките, че ме мързеше да ги напиша всичките .

[Paincho]

Съжалявам, но сега задача 2 а) под точка не мога да я напиша, защото ще ми отнеме доста време, а сега просто го нямам ... съжалявам, ще гледам утре да я напиша, но ще те упътя от къде да я видиш, ако ти е спешна. Ако имаш Сборника по Геометрия на Коста Коларов, там тази задача е 12.39 на страница 95 като най-отзад има кратко обяснение по нея.

Зад 2.
б) След като вече е доказано за разстоянието, то тук е лесно. Построяваме CH-височина, НО ABC равноб. => CH е вис., мед. и симетрала => т.О(център на описаната окр.) и т.I(център на вписаната окр.) лежат на една права CH. Долу в чертежа съм го направил с различни цветове, за да се различава и ще ти стане ясно. Сега знаем, че R=10, а r=3.

Първо намираме CH:
[tex]CH=R+r + \sqrt{R(R-2r)}[/tex]
[tex]CH=13+2\sqrt{10}[/tex]

Знаем, че [tex]CH^{2}=AH.BH[/tex], НО CH-мед. => AH=BH =>
[tex]=>[/tex] [tex]CH^{2}=AH^{2}[/tex] [tex]= > CH=AH =>[/tex]

[tex]S=CH.2AH[/tex]
[tex]S=2(13+2\sqrt{10})^{2}[/tex]

Сметките са за теб. Ще гледам утре и а) да напиша, но ако имаш сборника на Коста Коларов, там както написах горе я има - 12.39 на страница 95 , а отзад е и обяснението.

[Xixibg]

Зад. 1

От основното свойство на ъглополовящата получаваме:
[tex]\frac{PB}{PC} = \frac{AB}{AC}[/tex]

[tex]\frac{4}{5} = \frac{AB}{AC}[/tex]

(1) [tex]AC=\frac{5}{4}AB[/tex]

След това прилагаме питагорова теорема за APC и APB:

[tex]AC^{2} = AP^{2} + 400[/tex]
[tex]AB^{2} = AP^{2} + 256[/tex]

AP е общо и го заместваме:

[tex]AB^{2}=AC^{2} - 144[/tex]

На мястото на AC заместваме получилото се по-горе (1):

[tex]AB^{2}=(\frac{5}{4}AB)^{2} -144[/tex]
[tex]AB = 16[/tex]

Само че си сметни сметките, че ме мързеше да ги напиша всичките .

Само да обясниш как реши че [tex]\triangle ABP,\triangle APC[/tex] са правоъгълни че да използваш Питагорова теорема

[amsara]

Няма как да обясни, понеже те не са правоъгълни. Правоъгълният триъгълник е друг- АВС ( < B=90°). Доказва се с помощта на центъра на описаната окръжност, лежаща на АС(диаметър = 2R)
[tex]AB=x => \frac{AC}{AB } =\frac{CP}{ PB} <=> \frac{2R}{x }=\frac{20}{16 } <=> 8R=5x[/tex]
[tex]AB^2+BC^2=AC^2 <=> x^2 +36^2=4R^2[/tex]

[tex]|8R=5x[/tex]
[tex]|x^2+36^2=4R^2[/tex]

............

[Xixibg]

Няма как да обясни, понеже те не са правоъгълни. Правоъгълният триъгълник е друг- АВС ( < B=90°). Доказва се с помощта на центъра на описаната окръжност, лежаща на АС(диаметър = 2R)
[tex]AB=x => \frac{AC}{AB } =\frac{CP}{ PB} <=> \frac{2R}{x }=\frac{20}{16 } <=> 8R=5x[/tex]
[tex]AB^2+BC^2=AC^2 <=> x^2 +36^2=4R^2[/tex]

[tex]|8R=5x[/tex]
[tex]|x^2+36^2=4R^2[/tex]

............

Сара,
Прочети внимателно условието.
[tex]\triangle ABC[/tex] също не е правоъгълен.