Намиране на лице

[keith]

В правоъгълния триъгълник АВС, с прав ъгъл при върха С,
вписаната окръжност се допира до страните АВ, ВС и СА съответно в
точки M, K и L. Нека P и Q са петите на височините, през върховете L и
K в триъгълника MKL. Да се намери лицето на триъгълника АВС, ако
PQ = 2 и МВ = 10.

[Xixibg]

[tex]\angle BAC=\alpha ;\angle ABC=\beta ; =>\alpha +\beta =90^\circ[/tex]
[tex]\angle AML=\angle ALM=90-\frac{\alpha }{2}(\triangle AML[/tex]-равнобедрен свойства на допирателните[tex])[/tex]
[tex]\angle BMK=\angle BKM=90-\frac{\beta }{2}(\triangle BMK[/tex]-равнобедрен свойства на допирателните[tex])[/tex]
[tex]=>\angle KML=180-(90-\frac{\alpha }{2}+90-\frac{\beta }{2})=\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}=45^\circ[/tex]
[tex]\angle KQM=180^\circ -(90^\circ +45^\circ )=45^\circ (\triangle KQM)[/tex]
[tex]K,P,Q,L,C[/tex] лежат на една окръжност.Нека радиуса и е [tex]r[/tex]
За [tex]\triangle KQP[/tex] Синусова теорема.
[tex]PQ=2r.sin45^\circ ; =>r=\sqrt{2}[/tex]
За [tex]\triangle CLK[/tex]-равнобедрен Синусова теорема.
[tex]CL=CK=2r.sin 45^\circ =2sm.[/tex]
Нека [tex]AL=AM=x ; BK=BM=10sm. ; CL=CK=2sm.[/tex] свойства на допирателните
За [tex]\triangle ABC[/tex] Питагороа теорема.
[tex](x+2)^2+12^2=(x+10)^2 ; =>x=3sm.[/tex]
[tex]AC=5sm ; BC=12sm. ; AB=13sm.[/tex]


[tex]S_{ABC}=30sm^2[/tex]

[keith]

Благодаря за решението!