Да се докаже, че във всеки триъгълник е в сила равенството

[kalina_1212]

Да се докаже, че във всеки триъгълник е в сила равенството
[tex]\frac{a}{bc}[/tex] + [tex]\frac{b}{ca}[/tex] + [tex]\frac{c}{ab}[/tex] = [tex]2(\frac{cos\alpha }{a} + \frac{cos\beta }{b} + \frac{cos\gamma }{c})[/tex]

Упътване. Преобразувайте поотделно двете страни на равенството и използвайте, че [tex]2bc cos\alpha = b^{2} + c^{2} - a^{2}[/tex] , [tex]2ac cos\beta = a^{2} + c^{2} - b^{2}[/tex] и [tex]2ab cos\gamma = a^{2} + b^{2} - c^{2}[/tex] .

Благодаря предварително

[Xixibg]

[tex]\frac{a}{bc}[/tex] + [tex]\frac{b}{ca}[/tex] + [tex]\frac{c}{ab}[/tex] = [tex]2(\frac{cos\alpha }{a} + \frac{cos\beta }{b} + \frac{cos\gamma }{c})[/tex].Подвеждаш под общ знаменател и получаваш:
[tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{2bc.cos\alpha +2ac.cos\beta +2ab.cos\gamma }{abc}[/tex]
Сега използваш упътването.То представлява косинусова теорема приложена за всяка от страните на триъгълника.
[tex]2bc cos\alpha = b^{2} + c^{2} - a^{2} ; 2ac cos\beta = a^{2} + c^{2} - b^{2} ; 2ab cos\gamma = a^{2} + b^{2} - c^{2}[/tex]
Събираш тези 3 равенства и получаваш:
[tex]2bc cos\alpha+2ac cos\beta+2ab cos\gamma=b^{2} + c^{2} - a^{2}+a^{2} + c^{2} - b^{2}+a^{2} + b^{2} - c^{2}=a^{2} + b^{2} + c^{2}[/tex] , което трябваше да докажем