Тригонометрия - 4Rsina/2.sinb/2.sinc/2

[keith]

Да се докаже, че за триъгълник с ъгли α, β и γ е изпълнено
равенството
r = 4Rsinα/2.sinβ/2.sinγ/2

[Knowledge Greedy]

Отделяме точен квадрат във формулата на косинусова теорема
[tex]a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha[/tex]

[tex]a^2=b^2-2bc+c^2+2bc-2bccos\alpha[/tex]

[tex]a^2=(b-c)^2+2bc(1-cos\alpha)[/tex]

Получаваме [tex]sin{\frac{\alpha }{ 2}}[/tex]
[tex]a^2=(b-c)^2+4bcsin^2\left ( \frac{\alpha }{ 2} \right )[/tex]

[tex]sin^2\left ( \frac{\alpha }{ 2} \right )=\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc }[/tex]

[tex]sin^2\left ( \frac{\alpha }{ 2} \right )= \frac{(a+b-c)(a-b+c)}{4bc }[/tex]

Представяме с полуприметъра
[tex]sin^2\left ( \frac{\alpha }{ 2} \right ) =\frac{(p-c)(p-b)}{bc }[/tex]

Аналогично
[tex]sin^2\left ( \frac{\beta }{ 2} \right ) =\frac{(p-c)(p-a)}{ac }[/tex]

[tex]sin^2\left ( \frac{\gamma }{ 2} \right ) =\frac{(p-a)(p-b)}{ba }[/tex]

Умножавайки почленно трите равенства и като използваме Хероновата формула, както и формулите [tex]S=\frac{abc}{4r }[/tex] и [tex]S=pr[/tex], след коренуване получаваме т.к.т.д.