Уравнението f(x)^g(x)=1

[Гост]

Да, в действителност в последната система не ни трябва g(x) да е цяло.

Трябва ни. То ни казва, че функцията g(x) е дефинирана в само в областта на целите числа, иначе второто условие от втората система няма да е коректно. Понятията четно-нечетно са дефинирани само за цели числа.

Това е което Кучето не може да схване и вместо това оплю задачата, учителите и цялото образование. Нагази и в комплексния анализ, а то било много просто.

[pal702004]

Това е което Кучето не може да схване

Това никой не може да го схване. Рядка глупост си написал.

[Гост]

И кое по-точно е глупост? Моля по-конкретно. Чe Кучето оплю цялото образование или, че понятията четно и нечетно се отнасят само за цели числа? Ако е така, числото 2.54 четно ли е или нечетно, питам аз?

[pal702004]

От условието:

където f и g са реални функции на реален аргумент

Откъде се взе това?

То ни казва, че функцията g(x) е дефинирана в само в областта на целите числа

И kucheto не е оплювал образованието ни, просто написа, че в училище материалът не се преподава с необходимата за математиката строгост.

[Гост]

идеята ми е следната: Функцията g(x) може да приема реален аргумент x, но да връща целочислен резултат. Такава функция може да бъде например g(x) = int(x). Това, че резултатът е цяло число, не противоречи на първоначалното условие, тъй като целите числа са подмножество на реалните. Ако трябва да връща четно число, например може има вида g(x) = 2*int(x). След като резутатът е гарантирано цяло число, то функцията f(x)^g(x) ще бъде дефинирана и за отрицателни f(x), тъй като x^n, в реалната област е дефинирана за отрицателни числа, само при при n цяло число. Ако считаме x^n за комплексна, тогава е дефинирана за всякакви x и n. Затова е необходимо уточнението, че са реални, иначе отпада последното ограничение за целочисленост.

Опитвам се да си обясня идеята на авторите на задачата. Смятам, че разсъжденията ми са логични и моля за обяснение и извинение за обидната квалификация "рядка глупост". Мисля, че тук пишат интилигентни хора, които боравят с аргументи, вместо с нападки и квалификации, но явно, когато няма аргументи... Ако не, направо да се видим и да си ударим по един тупаник и който набие другия е прав

[kucheto]

Гледам, голяма дискусия се е развихрила, та да си кажа и аз мнението... така де, да си начеша и аз езика
Всеки ще се съгласи, че $(-1)^4$ съществува и има смисъл, както и $(-1)^{-4}, (-1)^{3/5}, (-1)^{-3/5}$. И след, като това е така, като разглеждаме уравнението $f(x)^{g(x)}=a$, има смисъл да търсим решения и когато $f(x)<0$.
Ама, не ме интересува можем ли да продължим $(-1)^x$ за всяко $x$, и че нямало да се получи хубава функция, т.н. Щом като и шестокласник ще ти каже, че $(-2)^3=-8$, защо като решаваме $x^{-3x/2}=-8$ да се правим, че $x=-2$ не е решение?!

Предполагам, че моите писания вече са ви досадили, но ще напиша още един дълъг пост, в който конкретно ще коментирам въвеждането на показателната функция в учебник по математика.

Ще разгледам учебника по математика за 10 клас на "Регалия 6" с автори академик Стефан Додунеков и колектив. На хартия в момента брат ми кара по него.
Първоначално дефинират повдигане на реално число на естествена степен - това е ясно.
След това дефинират повдигане на ненулево реално число на отрицателна целочислена степен - и това е ясно.
По-нататък дефинират повдигане на реално положително число на рационална степен, като по-рано са дефинирали корен n-ти и са обяснили, че доказателството за съществуване е извън училищния курс (трябва малко анализ). За отрицателни числа нищо не казват.
Накрая дефинират повдигане на положително реално число $a$ на ирационална степен $x,$ като степента приближават отляво и отдясно с десетични дроби и казват, че може да се докаже (пак си трябва анализ), че съществува единствено число, което е между двете редици - това наричат $a^x.$
Така вече са построили функцията $a^x$ за реално положително $a$ и реално $x$ и формулират някои правила за действия със степени.
Дотук нямам забележки към авторите.

По-надолу започват с примерите. Един от тях е да се реши неравенството $(x-2)^{x^2-6x+8}>1.$ Разглеждат два случая $x-2>1$ и $0<x-2<1.$ Правят някакви тривиални разсъждения и стигат до решението $x\in (2,3)\cup (4,+\infty).$
До момента съм напълно съгласен с тях. Дори във всички решени примери съм напълно съгласен с тях.
След края на решените примери в учебника има нерешени задачи - дадени са само отговорите. Един от тях е да се реши уравнението $(x-3)^{3x^2-10x+3}=1.$ Авторите дават следните отговори: $x=4$ и $x=\frac{1}{3}.$

Не знам за вас, но аз виждам огромен проблем. Очевидно е, че авторите следват логиката на drago (шестокласната логика) - щом като сметнем основата и степента поотделно и знаем да сметнем резултата, значи изразът е дефиниран. В случая предполагам, че авторите разглеждат случаите, които са описани в първия постинг на тази тема, и отхвърлят случаите $x=3$ (защото $0^0$ не е дефинирано) и $x=2$ (защото $(-1)^{-5}=-1$), като остават другите два.
Къде е проблемът? От една страна не са дефинирали $a^x $ за $a<0,$ но да кажем, че следват шестокласната логика. Главният проблем е двойният стандарт. Имам предвид следното - да разгледаме отново неравенството $(x-2)^{x^2-6x+8}>1$ и да разсъждаваме като шестокласници. До момента знаем само за полето (без да използваме този термин) на рационалните числа. Ние обаче не знаем да повдигаме на дробна, а само на цяла степен. Съответно ще забележим, че ако $x$ е четно, то и $x^2-6x+8$ е четно и за всички четни неположителни $x$ очевидно $(x-2)^{x^2-6x+8}>1.$ Така получихме безбройно много решения, които ги няма в авторовото решение. А разсъждавахме като шестокласници.

Ако искаме, можем да потърсим още решения, за които $x<2.$ Например всички решения на уравнения от вида $x^2-6x+8=2k,\ k$ е естествено и $x<3,$ очевидно също са решения на неравенството. Може дори да почнем да търсим решения, за които $x^2-6x+8=\frac{2p}{q},\ p,q\in\mathbb{N},\ gcd(2p,q)=1.$ Ще получим още купища решения. От моя гледна точка ще са напълно безсмислени. Но от гледната точка на ученик би трябвало да са напълно коректни. Затова толкова настоявам, че когато сме дефинирали функция върху реални положителни числа, трябва като коне с капаци да разсъждаваме само за реални положителни числа. Не да се правим на хитри и да си мислим за цели, рационални и т.н. Анализът е, за да изследваме хубави функции, най-често аналитични изрази или редове. Ако си додефинираме функции по шестокласната логика, получаваме функции от типа на функцията на Дирихле, които не знам да служат за друго освен за контрапримери. Може и друга полза да има от тях, но със сигурност никакъв по-елементарен анализ не може да се прави върху тях. Какъв е тогава педагогическият смисъл да бъдат разглеждани?

Относно програмистките специалности, ами за какво им е например анализ? Трябва им малко, колкото... все пак математика учат де, но това не е необходимо, за да пишеш добър софтуер. Сега, някой може да иска всички да излизат професори по анализ, но кой ще си дава усилия, като това няма да му трябва.
Нещата си имат собствен ход, независимо одобряваме ли го или не, тъй че да не се вземаме много насериозно, да съдим тези дето слушат чалга, или тези дето са профани по анализ. Всеки прави това, което го интересува.

Сигурно си прав. Затова просто няма нужда от бакалавърска степен за голяма част от студентите. Програмирането си е вид занаят и за по-стандартни работи надали е нужен университет. Вече за по-сложни продукти може и да потрябват знания по математика и ако някой е решил да се занимава с такива, университетът може много да му е от полза. Все пак учебните планове на университетите са публични (не че средният кандидат-студент има каквато и да е било представа какво значат предметите в тях) и всеки сам си решава какво иска да учи. Не че не знаем каква е мотивацията на много студенти - студентски живот (лошо няма, но да не е само това) и диплома (най-често само тапията, но не и знанията). Също така и да си намерят работа, което е хубава мотивация, но тогава не трябва да се харчи държавен ресурс за 4-годишно образование.

Спрях да се взимам насериозно в училище, когато видях, че няма смисъл да се нервирам за простотии (от моя гледна точка), които системата е наложила, а аз нямам власт да премахна. Във форума просто споделям мисли и идеи, но в действителност се адаптирам според ситуацията. А и във ФМИ е най-доброто, което може да очаквам в България. И го оценявам.

А, и още нещо. Държавата не е добър стопанин. В това съм твърдо убеден, защото имам много наблюдения. Сега, дали цялото образование трябва да стане частно... по-скоро не, защото все пак всеки трябва да има достъп до образованието, но със сигурност частните ВУЗ имат генетично по-голям потенциал да бъдат по-добри.

Няма как държавата да е добър стопанин, след като и ние не сме такива. Аз обаче смятам, че образование и наука трябва да са сред приоритетите на държавата. Вече кои ВУЗ-ове биха били по-добри не зная.