задача за кандидатстудентски изпит

[Гост]

В равнобедрен трапец ABCD диагоналите се пресичат в т.О и ъгъл AOB е 60 градуса. Точки M, N, P са среди съотв. на AO, BC, OD. Да се докаже, че триъгълник MNP е равностранен.

[amsara]

В равнобедрен трапец ABCD диагоналите се пресичат в т.О и ъгъл AOB е 60 градуса. Точки M, N, P са среди съотв. на AO, BC, OD. Да се докаже, че триъгълник MNP е равностранен.

С материал от 7 и 8 клас.

[tex]AD=BC=b; PM-[/tex]средна отсечка,[tex]MP=\frac{b}{2 }, MP || AD[/tex]
[tex]AO=BO=x; \angle AOB= 60 ^\circ, \Delta AOB -[/tex] равностранен
[tex]BM \equiv h \equiv m \equiv l => \angle CMB = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\Delta MBC -[/tex] правоъгълен с медиана MN към хипотенузата.
[tex]MN=\frac{b}{ 2}, \Delta MNP -[/tex]равнобедрен
[tex]\angle DAO = \angle PMO = \alpha[/tex](кръстни)
[tex]\angle OBC=\alpha, \angle MBO = 60:2=30 ^\circ, \angle NMB= \angle NBM=30+\alpha[/tex]
[tex]\angle OMN=90-30-\alpha = 60-\alpha, \angle NMP=\alpha + 60 - \alpha = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\Delta MNP -[/tex]равностранен