задача за приемен изпит

[Гост]

[tex]\Delta[/tex] АВС с остър връх при върха А, AС =15, ВС = 20 и косинос алфа =3/5
а) дължината на височината АВ=?
в)Ако Д пренадлежи на АВ; АД/ДВ=9/16, да се намери разстоянието м/у центровете на описаните около [tex]\Delta[/tex] АДС и ВДС окр.

[Xixibg]

[tex]sin \alpha =\sqrt{1-cos^2 \alpha} =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}[/tex]
[tex]\frac{h_c}{AC}=sin \alpha ; =>h_c=\frac{4}{5}.15=12[/tex]
[tex]BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cos \alpha ; =>AB^2-18AB-175=0 ; =>AB=25 (AB=-7\notin DM)[/tex]
[tex]\frac{AD}{BD}=\frac{9}{16} ; =>AD=9 ; BD=16[/tex]
[tex]=>\triangle ADC,\triangle BDC[/tex] правоъгълни (Изпълняват Питагорова теорема)
Нека [tex]M,N[/tex] са центровете на описаните окръжности около [tex]\triangle ADC,\triangle BDC[/tex]
[tex]=>M,N[/tex] са среди на отсечките [tex]AC,BC[/tex](хипотенузи)[tex]=>MN[/tex] е средна отсечка [tex]=>MN=\frac{AB}{2}=12,5[/tex]