Няколко производни

[Iceage]

Някой ще помогне ли с тези задачи ,защото нищо не разбирам ....

[ammornil]

Първа производна ли се търси за тези функции?

[ammornil]

Намирането на първа производна е съвкупност от прилагането на така наречените таблични производни и няколко правила за намиране на производни на сложни функции и функции на няколко променливи. В твоите задачи има само функции на една променлива, което е голямо облекчение.

Табличните производни могат да бъдат намерени в учебника по математика, в Четиризначни математически таблици и формули или в други специализирани издания за математика.

..::(1)::..
[tex]y=-\frac{1}{3}.x^{4}-\frac{3}{4}.x^{2}+0,2.x-4[/tex]
[tex]y'=-\frac{1}{3}.4.x^{^{4-1}}-\frac{3}{4}.2.x^{^{2-1}}+0,2.x^{^{1-1}}-0=-\frac{4}{3}.x^{3}-\frac{3}{2}.x+0,2[/tex]

..::(2)::..
[tex]y=(-5.x^{3}-2.x).(x^{2}+4.x)[/tex]
Това е сложна функция, произведение от две функции, нека приемем че:
[tex]u=-5.x^{3}-2.x \hspace{24} \cyr{a} \hspace{24} v=x^{2}+4.x[/tex]
Тогава:
[tex]y=u.v[/tex] и съгласно формула за производна на функция, която е произведение на две функции имаме
[tex]y'=u'.v+u.v'[/tex]
Намираме u' и v':
[tex]u'=-5.3.x^{^{3-1}}-2.x^{1-1}=-15.x^{2}-2 \\
v'=2.x^{^{2-1}}+4.x^{1-1}=2.x+4[/tex]
Заместваме горе и получаваме:
[tex]y'=(-15.x^{2}-2).(x^{2}+4.x)+(-5.x^{3}-2.x).(2.x+4) \\
y'=-15.x^{4}-60.x^{3}-2.x^{2}-8.x-10.x^{4}-20.x^{3}-4.x^{2}-8.x \\
y'=-25.x^{4}-80.x^{3}-10.x^{2}-16.x[/tex]

..::(3)::..
[tex]y=\frac{-6.x+x^{2}}{x^{2}-3}=\frac{x^{2}-6.x}{x^{2}-3}[/tex]
ДМ:
[tex]x \ne \pm \sqrt{3}[/tex]
Това е сложна функция, частно от две функции, нека приемем че:
[tex]u=x^{2}-6.x \hspace{24} \cyr{a} \hspace{24} v=x^{2}-3[/tex]
Тогава:
[tex]y=\frac{u}{v}[/tex] и съгласно формула за производна на функция, която е частно на две функции имаме
[tex]y'=\frac{u'.v-u.v'}{v^{2}}[/tex]
Намираме u' и v':
[tex]u'=2.x^{^{2-1}}-6.x^{^{1-1}}=2.x-6 \\
v'=2.x^{^{2-1}}-0=2.x[/tex]
Заместваме горе и получаваме:
[tex]y'=\frac{(2.x-6).(x^{2}-3)-(x^{2}-6.x).2.x}{(x^{2}-3)^{2}} \\
y'=\frac{\cancel{2.x^{3}}-6.x-6.x^{2}+18\cancel{-2.x^{3}}+12.x^{2}}{(x^{2}-3)^{2}} \\
y'=\frac{6.(x^{2}-x+3)}{(x^{2}-3)^{2}}[/tex]

[ammornil]

..::(4)::..
[tex]y=-2.cotg^{^{2}}x-\frac{1}{3}.cos^{^{3}}(2.x)[/tex]
[tex]u=-2.cotg^{^{2}}x, \hspace{24} v=-\frac{1}{3}.cos^{^{3}}(2.x) \\
y'=u'+v'[/tex]
Производна на функция от вида [tex]z=f(g(t(x)))[/tex] се определя по формулата [tex]z'=f'(g(t(x))).g'(t(x)).t'(x).x'[/tex]
С думи казано, правим производната на най-външната функция, уможаваме я по производната на нейния аргумент, после по производната на аргумента на аргумента и т.н. докато свършат аргументите.
В случая нашата функция има вида:[tex]u=-2.\{[cotgx]^2 \}[/tex]
Най-външната функция е линейно умножение с константа "-2".
Следващата вътрешна функция е степенна: аргумент на втора степен.
Следващата вътрешна функция е тригонометрична: cotgX.
Накрая аргумента на котангенс е просто: Х.
[tex]u'=-2.[(cotgx)^{2}]'.[cotg(x)]'.x' \\
u'=-2.[2.cotg^{^{2-1}}(x)].\left[-\frac{1}{sin^{2}(x)}\right].1=-4.cotg(x).\left[-\frac{1}{sin^{2}(x)}\right] \\
u'=4.\frac{cos(x)}{sin(x)}.\frac{1}{sin^{2}(x)}=\frac{4.cos(x)}{sin^{^{3}}(x)}[/tex]
Аналогично:
[tex]v'=\frac{1}{3}.3.cos^{^{3-1}}(2.x).[cos(2.x)]'.(2.x)' \\
v'=cos^{2}(2.x).[-sin(2.x)].2=-2.sin(2.x).cos^{2}(2.x)[/tex]
Тогава:
[tex]y'=\frac{4.cos(x)}{sin^{^{3}}(x)}-2.sin(2.x).cos^{2}(2.x)[/tex]

[ammornil]

..::(5)::..
[tex]y=\sqrt{5.x^{2}-2.x+\frac{1}{x}}[/tex]
ДМ:
[tex]\left|5.x^{2}-2.x+\frac{1}{x} \ge 0 \\ x \ne 0[/tex]
[tex]y'=\frac{1}{2.\sqrt{5.x^{2}-2.x+\frac{1}{x}}}.\left(10.x-2-\frac{1}{x^{2}}\right) \\
y'=\frac{10.x^{3}-2.x^{2}-1}{2.x^{2}.\sqrt{5.x^{2}-2.x+\frac{1}{x}}}[/tex]
Това може да се доопрости, като се направи НОК в корена в знаменател, корен Х се съкрати с единия Х в знаменател и т.н., но и така представена това е търсената първа производна.

[ammornil]

..::(6)::..
[tex]y=\sqrt[5]{(x-sin(x))^{2}}=(x-sin(x))^{\frac{2}{5}}[/tex]

[tex]y'=\frac{2}{5}.(x-sin(x))^{^{{\frac{2}{5}-1}}}.(1-cos(x))=\frac{2}{5}.(x-sin(x))^{^{-\frac{3}{5}}}.(1-cos(x)) \\
y'=\frac{2.(1-cos(x))}{5.(x-sin(x))^{^{\frac{3}{5}}}}=\frac{2.(1-cos(x))}{5.\sqrt[5]{(x-sin(x))^{3}}}[/tex]