Двустенен ъгъл

[Гост]

Намерете двустенния ъгъл между две съседни околни стени на правоъгълна четириъгълна пирами с основен ръб - a и околен ръб - b. Благодаря предварително !

[ammornil]

Намерете двустенния ъгъл между две съседни околни стени на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб - a и околен ръб - b.

Правилна четириъгълна пирамида- основата е квадрат и всички околни стени са еднакви равнобедрени триъгълници.

Построяваме апотемата MN. Точката N е среда на ВС. Триъгълник NMB е правоъгълен, следователно:
[tex]BM^2=MN^2+BN^2 \hspace{12} \Leftrightarrow \hspace{12} MN^2=BM^2-BN^2=b^2-\frac{a^2}{4} \\
MN=\frac{1}{2}.\sqrt{4.b^2-a^2}[/tex]

В триъгълници ADM и CDM построяваме височините към околния ръб DM. Те са съответни височини в еднакви триъгълници, следователно пресичат DM в една обща точка (т.Е) и АЕ=СЕ. Това са перпендикуляри към пресечницата на две равнини, следователно ъгъл AEC е линеен на двустенния и е търсеният от нас ъгъл.

В триъгълник АDM височината към основата AD ще е равна на апотемата MN, a АЕ е височина към околен ръб. Лицето на триъгълника може да се запише като:
[tex]S_{ADM}=\frac{AD.MN}{2}=\frac{DM.AE}{2} \hspace{12} \Leftrightarrow \hspace{12} AE=\frac{AD}{DM}.MN \\
CE=AE=\frac{a}{b}.\frac{1}{2}.\sqrt{4.b^2-a^2}=\frac{a.\sqrt{4.b^2-a^2}}{2.b}[/tex]

Триъгълник АСЕ, [tex]AC=a.\sqrt{2}[/tex]
Косинусова теорема за ъгъл AEC.
[tex]AC^2=AE^2+CE^2+2.AE.CE.cos \angle AEC \\
cos\angle AEC=\frac{2.AE^2-AC^2}{2.AE^2}=1-\frac{AC^2}{2.AE^2} \\
cos\angle AEC=1-\frac{\cancel{2}.\cancel{a^2}}{\cancel{2}.\frac{\cancel{a^2}.(4.b^2-a^2)}{4.b^2}}=1-\frac{4.b^2}{4.b^2-a^2}=\frac{4.b^2-a^2-4.b^2}{4.b^2-a^2}=\frac{a^2}{a^2-4.b^2} \\
\angle AEC=arccos\left(\frac{a^2}{a^2-4.b^2} \right)[/tex]

[Гост]

Благодаря много !