Правилна триъгълна пирамида

[Гост]

Дадена е правилна триъгълна пирамида с височина 40 см. и радиус на вписаната в основата окръжност 30 см. Да се намери разстоянието от основен връх до срещулежаща стена.

[ammornil]

Дадена е правилна триъгълна пирамида с височина 40 см. и радиус на вписаната в основата окръжност 30 см. Да се намери разстоянието от основен връх до срещулежаща стена.

Центърът на вписаната в основата окръжност е пресечната точка на ъглополовящите на основата. Но тъй като основата на правилната триъгълна пирамида е равностранен триъгълник, то същата точка е и ортоцентър, медицентър и център на описана окръжност. Построяваме две от височините ([tex]AA_1 \bot BC, \hspace{8} BB_1 \bot AC[/tex]). Пресечната им точка е търсеният център, а отсечки [tex]OA_1=OB_1=r=30 cm[/tex].
От свойство на медицентър знаем, че: [tex]\frac{AO}{OA_1}=\frac{2}{1} \Rightarrow AA_1=3.OA_1=90 cm[/tex]
Понеже пирамидата е правилна, ΟΜ е височина на пирамидата. ОМ=40 cm.
[tex]\triangle MOA_1 \rightarrow tg \angle MA_1O=\frac{MO}{OA_1}=\frac{40}{30}=\frac{4}{3} \\
\begin{array}{|l} \frac{sin \angle MA_1O}{cos \angle MA_1O}=\frac{4}{3} \\ sin^2 \angle MA_1O +cos^2 \angle MA_1O=1 \end{array} \hspace{8} \Rightarrow sin^2 \angle MA_1O +\frac{16}{9}.sin^2 \angle MA_1O=1 \\
\frac{25}{9}.sin^2 \angle MA_1O=1 \Rightarrow sin^2 \angle MA_1O=\frac{9}{25} \Rightarrow sin \angle MA_1O= \frac{3}{5}[/tex].
Взимаме само положителния синус, защото ъглите в триъгълник не могат да имат отрицателен синус.
Построяваме [tex]AQ \bot MA_1[/tex].
[tex]AQ \bot MA_1 \\ AA_1 \bot BC \\ MA_1 \bot BC \Rightarrow AQ \bot p.(BCM)[/tex],
следователно AQ е търсеното разстояние.

[tex]\triangle AQA_1 \rightarrow AQ=AA_1.sin \angle MA_1O=90.\frac{3}{5}= 54cm[/tex]