По-трудна задачка от описани сфери

[s1mm3r]

Основата на пирамида е триъгълник с дължина на страните корен от 5 , корен от 10 и 5см , а околните и ръбове сключват с равнината на основата ъгли 60 градуса . Да се намери радиусът на описаната около пирамидата сфера.

Хиляди благодарности на този който се захване !

[Spider Iovkov]

Нека означенията са както на картинката, при което [tex]AB=\sqrt{5}, \, BC=\sqrt{10}, \, AC=5[/tex]. Понеже всичките околни ръбове сключват равни ъгли с равнината на основата, то върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната около основата окръжност — точка [tex]O[/tex]. Радиусът на сферата, описана около правилна пирамида или около пирамида с равни околни ръбове, се пресмята по формулата

[tex]R_{*} = \frac{b^2}{2h}[/tex],

където [tex]b[/tex] е дължината на околния ръб, а [tex]h[/tex] — на височината. От [tex]\triangle ABC[/tex] по косинусовата теорема намираме

[tex]AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC. cos \angle ABC \Leftrightarrow 5+10-2.\sqrt{5}.\sqrt{10}. cos \beta = 25 \Leftrightarrow cos \beta = -\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].

Тогава [tex]\beta = 135^\circ[/tex], откъдето [tex]sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Сега по синусовата теорема пресмятаме

[tex]\frac{AC}{sin \angle ABC} = 2R_{\triangle ABC} \Leftrightarrow \frac{5}{sin 135^\circ} = 2R_{\triangle ABC} \Leftrightarrow R_{\triangle ABC} = \frac{5\sqrt{2}}{2}[/tex], т. е. [tex]AO=BO=CO=\frac{5\sqrt{2}}{2}[/tex].

От правоъгълния [tex]\triangle AOD[/tex] следва, че [tex]AD=b=5\sqrt{2} \, (1)[/tex] и

[tex]\tan \angle ADO = \frac{AO}{DO} \Leftrightarrow \tan 30^\circ = \frac{AO}{DO} \Leftrightarrow DO = h = AO \cot 30^\circ \Leftrightarrow h = \frac{5\sqrt{6}}{2} \, (2)[/tex].

Заместваме [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] в равенството за радиуса на описаната сфера и определяме [tex]R_{*} = \frac{5\sqrt{6}}{3}[/tex].

[s1mm3r]

Благодаря!