Правилна тригълна пирамида

[iliqnktz]

Правилна тригълна пирамида
Дадено:
h = 3 cm
cos на ъгъла (h, l) = 3/5
Търсим V=?

Ако може да дадете и чертеж мерси предварително

[S.B.]

Правилна триъгълна пирамида

Untitled (28).png (380.91 KiB) Прегледано 175 пъти

Правилна тригълна пирамида
Дадено:
h = 3 cm
cos на ъгъла (h, l) = 3/5
Търсим V=?

Ако може да дадете и чертеж мерси предварително

[tex]V_{ABCD } = \frac{h}{3}\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex] , [tex]h = 3[/tex], необходим ни е основния ръб $a$;
Пирамидата е правилна ,триъгълна [tex]\Rightarrow[/tex] върхът $D$ се проектира върху центъра $E$ на описаната около основата окръжност .
Разглеждам [tex]\triangle DEC : DE= h = 3 ,DC = l , cos\angle EDC = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{h}{l} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{3}{l} = \frac{3}{5} \Rightarrow l = 5[/tex]
По Питагор : [tex]l^{2} - h^{2} = CE^{2} \Leftrightarrow 5^{2} - 3^{2} = CE^{2} \Rightarrow CE^{2} = 16 , CE = 4[/tex] ,но [tex]CE = R \Rightarrow R = 4[/tex]
За основата от синусова теорема :[tex]\frac{a}{sin60} = 2R \Leftrightarrow \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \Rightarrow a = 4\sqrt{3}[/tex]
[tex]V_{ABCD } = \frac{h}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{3} .\frac{(4\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}[/tex]