Ирационално уравнение

[Гост]

[tex]\sqrt[4]{7-9x}[/tex] + [tex]\sqrt[4]{10+9x}[/tex] = [tex]3[/tex]

[strangerforever]

[tex]\sqrt[4]{7 - 9x} = u[/tex]

[tex]\sqrt[4]{10 + 9x} = v[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]u^4 + v^4 = 17 \Leftrightarrow (u^2 + v^2)^2 - 2u^2v^2 = 17 \Leftrightarrow [(u+v)^2 - 2uv]^2 - 2(uv)^2 = 17[/tex]

Остава само да положим [tex]uv = t[/tex] и да използваме условието, че [tex]u + v = 3[/tex]:

[tex](9 - 2t)^2 - 2t^2 = 17 \Leftrightarrow t^2 - 18t + 32 = 0[/tex]

откъдето намираме [tex]t_1 = 16[/tex] и [tex]t_2 = 2[/tex].

От там u и v са корени съответно на [tex]y^2 - 3y + 16[/tex] или [tex]y^2 - 3y + 2[/tex].

Първото няма реални корени, а от второто намираме [tex]u_1 = 2; v_1 = 1[/tex] или [tex]u_2 = 1; v_2 = 2[/tex].

Замествайки в оригиналното полагане, намираме, че [tex]x = -1[/tex] удовлетворява първата двойка и [tex]x = \frac{2}{3}[/tex] удовлетворява втората двойка, които са и решенията на уравнението.

[Гост]

Oт къде дойде това "17" ??

[strangerforever]

Oт къде дойде това "17" ??

[tex]u^4 + v^4 = (\sqrt[4]{7 - 9x})^4 + (\sqrt[4]{10 + 9x})^4 = 7 - 9x + 10 + 9x = 17[/tex]

при съответното ДМ.

[Гост]

Благодаря !

[Гост]

Toва пък y от къде се взе ?

[strangerforever]

Toва пък y от къде се взе ?

То е без значение. Може да е която си искаш буква. Важното е, че u и v са корени на квадратен тричлен с такива коефициенти (следва от Виет).