Намерете страните на триъгълника

[Гост]

1.Даден е равнобедрен триъгълник с полупериметър р и ъгъл между бедрата α. Намерете страните на триъгълника .
2 Даден е равнобедрен триъгълник с ъгъл при върха 120° и основа 2√3 см . Намерете разстояние между ортоцентъра на триъгълника и центъра на вписаната окръжност
Благодаря предварително !

[ammornil]

1.Даден е равнобедрен триъгълник с полупериметър р и ъгъл между бедрата α. Намерете страните на триъгълника .

[tex]\triangle ABC \\
AC=BC \hspace{24} \angle ACB=\alpha \\
\frac{AB+BC+AC}{2}=p \\
\vspace{5} \\
AB=?, AC=?, BC=? \\
\vspace{16} \\
\angle BAC= \angle ABC= \frac{\pi-\alpha}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2} \\
\frac{AB}{sin \alpha}=\frac{AC}{sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2})} \hspace{24} \Rightarrow \hspace{24} \frac{AB}{sin \alpha}=\frac{AC}{sin (\frac{\alpha}{2})} \hspace{24} \Rightarrow \hspace{24} AB=2.AC.cos(\frac{\alpha}{2}) \\
\vspace{5} \\
\frac{AB+BC+AC}{2}=p \hspace{24} \Rightarrow \hspace{24} 2.AC.cos(\frac{\alpha}{2})+AC+AC=2p \\
2.AC.(1+cos(\frac{\alpha}{2}))=2p \hspace{24} \Rightarrow \hspace{24} AC=BC=\frac{p}{1+cos(\frac{\alpha}{2})} \\
AB=2.AC.cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{2.p.cos(\frac{\alpha}{2})}{1+cos(\frac{\alpha}{2})}[/tex]

В решението на задачата мярката за линеен ъгъл е РАДИАН. Редно е също така вместо [tex]cos(\frac{\alpha}{2})[/tex] да се замести с [tex]\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}[/tex] и да се рационализират получените изрази. Обаче мен ме мързи

[ammornil]

2 Даден е равнобедрен триъгълник с ъгъл при върха 120° и основа 2√3 см . Намерете разстояние между ортоцентъра на триъгълника и центъра на вписаната окръжност.

[tex]\triangle ABC \\
AC=BC \hspace{24} AB=2\sqrt{3} \hspace{4} cm \hspace{24} \angle ACB=120^{\circ} \\
A A_1 \bot BC,\hspace{24} BB_1 \bot AC,\hspace{24} AA_1 \cap BB_1 = H \\
L_1 \in BC,\hspace{24} \angle CAL_1= \angle L_1AB \\
L_2 \in AC,\hspace{24} \angle CBL_2= \angle L_2BA \\
L_3 \in AB,\hspace{24} \angle ACL_3= \angle L_3CB \\
AL_1 \cap BL_2 \cap CL_3= O_1 \\
\vspace{10} \\
O_1H=?[/tex]

[tex]\angle CAB= \angle CBA= 30^\circ \\
AL_3=L_3B=\frac{AB}{2}=\sqrt{3} \hspace{4} cm \\
AL_3=AC.cos \angle CAB \hspace{24} \Rightarrow AC=BC=\frac{AL_3}{cos \angle CAB}=\frac{AL_3}{cos 30^\circ} \Rightarrow AC=BC=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2 \hspace{4}cm \\
CL_3=AC.sin \angle CAB= 2.\frac{1}{2}=1 \hspace{4}cm \\
S_{_{\triangle ABC}}=\frac{AB.CL_3}{2}=\frac{AB+BC+AC}{2}.r, \hspace{4} \cyr{kydeto} \hspace{4} r \hspace{4} \cyr{radius na vpisana okr.} \\
\Rightarrow r=\frac{AB.CL_3}{AB+BC+AC}=\frac{2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}.\frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{2} \hspace{4} cm \\
O_1C=CL_3-r=1-\frac{3-\sqrt{3}}{2} \hspace{12} \Rightarrow \fbox{O_1C=\frac{\sqrt{3}-1}{2} \hspace{4} cm} \\
\vspace{10}\\
\left, \angle B_1CB=180^\circ- \angle ACB= 60^\circ \\ \angle B_1CH= \angle ACL_{3}=60^\circ \hspace{4} \cyr{vryxni} \right} \angle B_1CB = \angle B_1CH \\
\vspace{5} \\
\triangle B_1CB \cyr{edn. na} \triangle B_1CH \left{ \cyr{pravoygylni} \\ B_1C- \cyr{obshcha} \\ \angle B_1CB = \angle B_1CH \right, \hspace{24} \Rightarrow \fbox{CH=CB=2 \hspace{cm}} \\
\vspace{10} \\
O_1H=O_1C+CH=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+2=\frac{3+\sqrt{3}}{2} \hspace{4} cm[/tex]