Лице на триъгълник

[PeturN]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС с периметър 32. Допирателната към вписаната
окръжност, успоредна на основата АВ, пресича бедрата в точки P и Q. Да се намери
лицето на триъгълника, ако PQ = 4.

[Xixibg]

Нека [tex]AB=x ; =>AP=BQ=\frac{x+4}{2} ; P\in AC ; Q\in BC[/tex]Свойство на вписаната окръжност в четириъгълник
[tex]P_{ABC}=AB+AC+BC=32 ; =>AC=BC=\frac{32-x}{2}[/tex]
[tex]PQ||AB ;=>PC=QC=\frac{32-x}{2}-\frac{x+4}{2}=14-x[/tex]
[tex]\triangle ABC \approx \triangle PQC ; =>\frac{PQ}{AB}=\frac{PC}{AC}=\frac{QC}{BC}[/tex]
[tex]=>\frac{4}{x}=\frac{14-x}{\frac{32-x}{2}}[/tex]

[tex]=>4.\frac{32-x}{2}=x(14-x)[/tex]

[tex]=>64-2x=14x-x^2[/tex]

[tex]=>x^2-16x+64=0[/tex]

[tex]=>(x-8)^2=0 ; =>x=8[/tex]

[tex]=>AC=BC=12[/tex]

[tex]S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{16.8.4.4}=32\sqrt{2}[/tex] (Херонова формула)
Може и с Питагорова теорема да се намери височината към основата [tex]h_c=8\sqrt{2}[/tex]и лицето по формулата [tex]S_{ABC}=\frac{c.h_c}{2}=\frac{8.8.\sqrt{2}}{2}=32\sqrt{2}[/tex]