Задача по аналитична геометрия

[someone]

Здравейте, предлагам Ви следната задача, която е дадена в урок по аналитична геометрия в учебник за 12 клас. Доста се мъчих над нея, но така и не успях да я докарам:
(Навсякъде в условието и решението ще използвам стандартни означения.)
За триъгълник [tex]ABC[/tex] е дадено, че [tex]OG || AB[/tex] и [tex]OG = \frac{1}{12} AB.[/tex] ([tex]O[/tex] - център на описаната окръжност, [tex]G[/tex] - медицентър). Да се намерят ъглите на триъгълника.
Ето как тръгнах и докъде стигнах:
Ясно е, че [tex]\gamma < 90^\circ[/tex] , тъй като в противен случай даденото за успоредността е невъзможно.
Въвеждам координатна система с център точката [tex]A[/tex] и абцисна ос правата [tex]AB[/tex].
Без ограничение на общността приемаме [tex]A(0; 0)[/tex], [tex]B(1; 0)[/tex] и нека [tex]C(x; y)[/tex].
От даденото имаме, че [tex]\vec{OG}=\frac{1}{12}\vec{AB}[/tex].
Лесно се намират координатите на точките [tex]O[/tex] и [tex]G[/tex]:
[tex]O(Rsin\gamma; Rcos\gamma)[/tex],
[tex]G ( \frac{x+1}{3}; \frac{y}{3} )[/tex].
Съответно [tex]\vec{OG} (\frac{x+1}{3} - Rsin\gamma ; \frac{y}{3} - Rcos\gamma)[/tex].

Но [tex]\vec{AB}(1; 0) \Rightarrow \frac{1}{12}\vec{AB} (\frac{1}{12}; 0)[/tex].
От равенството на векторите имаме:
[tex]\left| \frac{x+1}{3} - Rsin\gamma = \frac{1}{12} \\
\frac{y}{3} - Rcos\gamma = 0[/tex]
По синусова теорема имаме [tex]AB = 2Rsin\gamma \Rightarrow Rsin\gamma = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}[/tex]

Оттук след заместване в първото уравнение на системата намираме [tex]\fbox {x = \frac{3}{4} }[/tex] .
И съм дотук. За намирането на [tex]y[/tex] така и не съм открил все още рационален начин (намерих един, но техническата част в него е изключително трудоемка). Ще съм Ви благодарен за помощта!

[monika_at]

viewtopic.php?f=85&t=13271&p=57371#p57371

[someone]

Благодаря за отговора, monika_at! Много красиво решение, ето това е тригонометрията в действие!
Независимо от това аз довърших и аналитичното решение, малко по-трудноемко от това е определено, но също излиза накрая.