Логаритмично уравнение и една граница

[Гост]

http://sketchtoy.com/48849730

Може ли малко помощ за уравнението. За границата получавам 2, а отговорът е 4.

Благодаря предварително.

[monika_at]

1 зад) Рационализираме:
[tex]\lim_{x\to\1} \frac{1-cos^2x+xsins}{ sin^2{\frac{x}{ 2}} \sqrt{1+xsinx}+cosx) }[/tex]. Понеже при граничен преход подкоренната величина клони към 2, още сега ще я заместя с 2, че мързи да я пиша всеки път. Ще се заемем с останалата част.

[tex]\lim_{x\to1}\frac{sin^2x+xsinx}{2sin^2{\frac{x}{2} } } = \frac{sinx(sinx+x)}{ 2sin^2{\frac{x}{2} } }= \lim_{x\to1}\frac{2sin{\frac{x}{ 2}}cos{\frac{x}{ 2}} (sinx+x) }{2sin^2{\frac{x}{2} } }=[/tex]

[tex]=\lim_{x\to1}\frac{xcos{\frac{x}{ 2}(\frac{sinx}{x } +1 )}}{ sin{\frac{x}{2} }}=\lim_{x\to1}2.\frac{x}{2sin{\frac{x}{2 } } } .cos{\frac{x}{ 2} }.(\frac{sinx}{ x} +1)=2.1.1.(1+1)=4[/tex]

[Гост]

Благодаря Ви.

[monika_at]

2 зад) Решава се с оценка на функциите от двете страни. ДМ на задачата е х>0.
Функцията в ляво е квадратна и достига НГС за х=1, която НГС=1=>

[tex]f(x)=2x-x^2\le f(1)=1[/tex]

Функцията в дясно е растяща логаритмична функция, защото основата на логаритъма е 2>1.
Да разгледаме функцията под знака на логаритъма.

[tex]h(x)=\frac{x^2+1}{x } =x+\frac{1}{ x} \ge 2[/tex]-неравенство на Коши (СА-СГ), като равенство се достига за х=1=>

[tex]g(x)=log_2(\frac{x^2+1}{ x} )\ge log_22=1[/tex]=>

[tex]f(x)\le 1\le g(x)=>f(x)=g(x), x=1[/tex]