Тригонометрично уравнение с параметър

[Гост]

За кои стойности на реалния параметър a, уравнението (a-1).cosx+(a+1).sinx=2a има решение. От 1 час я решавам, положих, ама ми се получиха някакви корени и вече стана много трудно.
Само малко помощ ми е необходима.
Благодаря предварително.

[monika_at]

В лявата страна имаме основно тригонометрично преобразувание. Ще разделим уравнението на

[tex]\sqrt{(a-1)^2+(a+1)^2}=\sqrt{2a^2+2}[/tex]=>

[tex]\frac{a-1}{ \sqrt{2a^2+2}} cosx+\frac{a+1}{ \sqrt{2a^2+2}}sinx =\frac{2a}{\sqrt{2a^2+2} }[/tex]

Понеже сборът от квадратите на така получените числа пред [tex]cosx[/tex]и [tex]sinx[/tex] е 1, то можем с пълно право да считаме, че

[tex]\frac{a-1}{ \sqrt{2a^2+2}}=sin\varphi ; \frac{a+1}{ \sqrt{2a^2+2}}=cos\varphi[/tex]=>

[tex]sin\varphi cosx+cos\varphi sinx=\frac{2a}{\sqrt{2a^2+2} }[/tex]=>

[tex]sin(x+\varphi )=\frac{2a}{\sqrt{2a^2+2} }[/tex].

Тогава полученото уравнение ще има решение за онази стойност на параметъра, за която е изпълнена системата:

[tex]-1\le \frac{2a}{\sqrt{2a^2+2} }\le 1[/tex], която остава да решиш. Това е система от две ирационални неравенства. Пробвай я и ако не успееш, пиши.