Най-голямата и най-малката стойност на логаритмична функция

[Гост]

http://sketchtoy.com/50062307

Значи, определям ДС, след това разглеждам функцията в аргумента. Нулирам първата производна и ми излиза, че няма решение. Моля за някакви идеи.

[monika_at]

Много лошо си написал втория логаритъм. При него 3 в знаменател ли е или е основата на логаритъма?

[Гост]

Леле, моя грешка, 3 е в основата . . .

[Добромир Глухаров]

[tex]f(x)=log_3\(1+\sqrt{2x-2}\)-\frac{1}{2}\cdot log_3x=log_3\frac{1+\sqrt{2x-2}}{\sqrt{x}}[/tex]

[tex]D.C.\ x\ge 1[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{\frac{2}{2\sqrt{2x-2}}}{ln3\(1+\sqrt{2x-2}\)}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{xln3}=\frac{1}{\sqrt{2x-2}\(1+\sqrt{2x-2}\)ln3}-\frac{1}{2xln3}=\frac{2x-\sqrt{2x-2}\(1+\sqrt{2x-2}\)}{2xln3\sqrt{2x-2}\(1+\sqrt{2x-2}\)}[/tex]

[tex]f'(x)=0[/tex]

[tex]2x=\sqrt{2x-2}\(1+\sqrt{2x-2}\)[/tex]

Повдигаме двете страни на квадрат:

[tex]4x^2=(2x-2)(1+2x-2+2\sqrt{2x-2})[/tex]

От последното изразяваме [tex]\sqrt{2x-2}[/tex] като функция на [tex]x[/tex]:

[tex]2\sqrt{2x-2}=\frac{3x-1}{x-1}[/tex]

Отново повдигаме на квадрат: [tex]4(2x-2)=\frac{9x^2-6x+1}{x^2-2x+1}[/tex].

[tex]\Rightarrow\ 8x^3-33x^2+30x-9=0[/tex]

Чрез схемата на Хорнер определяме: [tex]8x^3-33x^2+30x-9=(x-3)(8x^2-9x+3)[/tex].

Дискриминантата на [tex]8x^2-9x+3[/tex] е [tex]D=81-4.3.8=-15<0[/tex]

Следователно [tex]x=3[/tex] е единствената точка, в която [tex]f'(x)=0[/tex]

[tex]x\in[1;3)\ f'(x)>0[/tex] - функцията расте,

[tex]x\in(3;+\infty)\ f'(x)<0[/tex] - функцията намалява.

[tex]f(1)=0[/tex]

[tex]f(3)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}log_3\frac{1+\sqrt{2x-2}}{\sqrt{x}}=log_3\lim_{x\to+\infty}\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{2}{x}}\)=log_3\sqrt{2}>0[/tex]

Следователно НГС на [tex]f(x)[/tex] е [tex]\frac{1}{2}[/tex], а НМС е [tex]0[/tex].

Ако имаш въпроси по намиране на производната, или други, питай .

[Добромир Глухаров]

Може да видиш графиката във WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3Dlog%28%281%2B%5Csqrt%282x-2%29%29%2F%28%5Csqrt%28x%29%29%29%2Flog%283%29

Трябва да смениш Complex-Valued Plot на Real-Valued Plot.

[Гост]

Много Ви благодаря, но за съжаление още не сме учили нстурален логаритъм.

[Гост]

Полагам аргумента като отделна функция, но просто като нулирам първата производна ми излиза, че нещо под корен =-1, което е невъзможно.

[Добромир Глухаров]

[tex]f(x)=log_3\frac{1+\sqrt{2x-2}}{\sqrt{x}}[/tex]

[tex]u(x)=\frac{1+\sqrt{2x-2}}{\sqrt{x}}[/tex]

[tex]v(x)=log_3x[/tex]

[tex]f(x)=v(u(x))[/tex]

[tex]v(x)[/tex] е растяща функция, следователно разглеждаме [tex]u(x)[/tex] - намираме производната и т.н.:

[tex]u'(x)=\frac{\frac{2}{2\sqrt{2x-2}}\cdot\sqrt{x}-\(1+\sqrt{2x-2}\)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=0[/tex]

[tex]\frac{2\sqrt{x}\sqrt{x}-\sqrt{2x-2}\(1+\sqrt{2x-2}\)}{2x\sqrt{x}\sqrt{2x-2}}=0[/tex]

[tex]2x-\sqrt{2x-2}-(2x-2)=0[/tex]

[tex]\sqrt{2x-2}=2[/tex]

[tex]x=3[/tex]

[Гост]

[quote][/quote]Мерси отново, но щом x=3, това значи ли, че функцията има само НГС?

[Добромир Глухаров]

Трябва да разгледаме и краищата на интервала от допустими стойности: [tex]f(1)=0;\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=log_3\sqrt{2}<\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ f(1)=0[/tex] - НМС, [tex]f(3)=\frac{1}{2}[/tex] - НГС.

[Гост]

Златен си!