Да се определи дефиниционното множество на функцията

[MoDz]

Имам следната задача:
Да се определи дефиниционното множество на функцията [tex]\sqrt{x^{4} - x^{2}}[/tex]
Ето моите разсъждения:
Изразът има решение при [tex]x^{2}(x^{2} - 1) \ge 0[/tex]
[tex]=> x^{2}(x - 1)(x + 1) \ge 0[/tex]
От тук корените са x=0, x=1 и x=-1.
Правя си графика с интервали и получавам, че [tex]x\in (-1 ; 0] \cup [1 ; +\infty)[/tex]
Обаче според авторите на задачата отговорът е [tex]x\in (-\infty ; -1] \cup [0] \cup [1 ; +\infty)[/tex]
Къде греша?

[ismarti]

Имам следната задача:
Да се определи дефиниционното множество на функцията [tex]\sqrt{x^{4} - x^{2}}[/tex]
Ето моите разсъждения:
Изразът има решение при [tex]x^{2}(x^{2} - 1) \ge 0[/tex]
[tex]=> x^{2}(x - 1)(x + 1) \ge 0[/tex]
От тук корените са x=0, x=1 и x=-1.
Правя си графика с интервали и получавам, че [tex]x\in (-1 ; 0] \cup [1 ; +\infty)[/tex]
Обаче според авторите на задачата отговорът е [tex]x\in (-\infty ; -1] \cup [0] \cup [1 ; +\infty)[/tex]
Къде греша?

koren.gif (1.9 KiB) Прегледано 465 пъти

Определи дефиниционното множество на това. Еквивалентно е.
Гледай да опростяваш колкото се може повече, за да не се натрупват излишни интервали.

[CuMo]

А [tex]\sqrt{(x+1)(x-1)}[/tex] не е ли [tex]|(x+1)(x-1)|[/tex] ?

[ganka simeonova]

А [tex]\sqrt{(x+1)(x-1)}[/tex] не е ли [tex]|(x+1)(x-1)|[/tex] ?

не.

[baroveca]

Имам следната задача:
Да се определи дефиниционното множество на функцията [tex]\sqrt{x^{4} - x^{2}}[/tex]
Ето моите разсъждения:
Изразът има решение при [tex]x^{2}(x^{2} - 1) \ge 0[/tex]
[tex]=> x^{2}(x - 1)(x + 1) \ge 0[/tex]
От тук корените са x=0, x=1 и x=-1.
Правя си графика с интервали и получавам, че [tex]x\in (-1 ; 0] \cup [1 ; +\infty)[/tex]
Обаче според авторите на задачата отговорът е [tex]x\in (-\infty ; -1] \cup [0] \cup [1 ; +\infty)[/tex]
Къде греша?

0 се включва в решението.

[MoDz]

Аааа, сега се замислих и разбрах, че решенията са си [tex]x\in (-\infty ; -1] \cup [1 ; +\infty)[/tex], просто нулата също е решение, защото при x=0 неравенството е изпълнено и след това мога да премахна [tex]x^{2}[/tex], защото никога не е отрицателно и не влияе на неравенството.
Ако имам например [tex](x-2)^{2}(x-3) \ge 0[/tex], тогава x-2=0 => x=2 е решение и след това [tex](x-2)^{2}[/tex] отпада и вече си решавам само [tex](x-3) \ge 0[/tex] и от там следва, че [tex]x\in [2] \cup [3 ; +\infty)[/tex].
А ако [tex](x-2)^{2}(x-3) < 0[/tex], тогава [tex](x-2)^{2}[/tex] директно отпада и решенията са [tex]x\in (-\infty ; 3)[/tex].
Правилно ли разсъждавам?

[ganka simeonova]

Аааа, сега се замислих и разбрах, че решенията са си [tex]x\in (-\infty ; -1] \cup [1 ; +\infty)[/tex], просто нулата също е решение, защото при x=0 неравенството е изпълнено и след това мога да премахна [tex]x^{2}[/tex], защото никога не е отрицателно и не влияе на неравенството.
Ако имам например [tex](x-2)^{2}(x-3) \ge 0[/tex], тогава x-2=0 => x=2 е решение и след това [tex](x-2)^{2}[/tex] отпада и вече си решавам само [tex](x-3) \ge 0[/tex] и от там следва, че [tex]x\in [2] \cup [3 ; +\infty)[/tex].
А ако [tex](x-2)^{2}(x-3) < 0[/tex], тогава [tex](x-2)^{2}[/tex] директно отпада и решенията са [tex]x\in (-\infty ; 3)[/tex].
Правилно ли разсъждавам?

Забележка за последното. х=2 не е решение, защото тогава строгото неравенство се превръща в равенство. Затова трябва да го изключиш от решенията.

[MoDz]

Благодаря за отговорите.