Задачи — граници

[mmmmmm]

1) Ако [tex]\lim_{n \to \infty} a_{n }=\sqrt{3}-1[/tex], [tex]\lim_{n \to \infty} c_{n }=\sqrt{5}-1[/tex] и [tex]a_{n }\le b_{n } \le c_{n }[/tex] за всяко естествено число [tex]n[/tex], то [tex]\lim_{n \to \infty} b_{n }[/tex] e:

Верният отговор е: число в интервала [tex][\sqrt{3} -1; \sqrt{5} -1][/tex], ако [tex]\lim_{n \to \infty} b_{n }[/tex] съществува.
Как се стига до него?


2) Ако [tex]\lim_{n \to \infty} a_{n }=a[/tex] и [tex]\lim_{n \to \infty} b_{n }=b[/tex], то [tex]\lim_{n \to \infty} \frac {a_{n }}{b_{n }}[/tex] e:


3) Границата [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{2+4+6+...+2n}{1+7+13+...+(6n-5)}[/tex] е равна на:


Благодаря предварително.

[martin123456]

1
нека [tex]\exist \lim{b_n} =b[/tex] и [tex]a_n \leq b_n \leq c_n[/tex]. => [tex]\forall n:\hspace{2mm}b \in [a_n, c_n][/tex]. Но [tex]\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=\sqrt{3}-1[/tex], [tex]\lim_{n \rightarrow +\infty}c_n=\sqrt{5}-1[/tex]=>[tex]n \rightarrow +\infty[/tex]=>[tex]b \in [\sqrt{3} -1; \sqrt{5} -1][/tex]

[martin123456]

2
1) ако [tex]b=0 \cap a = 0[/tex] => неопределеност
2) ако [tex]b=0 \cap a\ne 0[/tex]=>[tex]\frac{a}{0}=\pm \infty[/tex]
3) ако [tex]b \ne 0[/tex]=>[tex]\frac{a}{b}[/tex]

[martin123456]

3
числител и знаменател са аритметични прогресии.
числител: аритм прогресия с пъърчи член 2 и разлика 2, значи числител е [tex]n(n+1)[/tex]
знаменател: аритм прогресия с първи член 1, разлика 4 => знаменател е [tex]n(3n-2)[/tex]
=>[tex]\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n(n+1)}{n(3n-2)}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n+1}{3n-2}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{3-\frac{2}{n}}=\frac{1}{3}[/tex]