Тригонометрично уравнение 8cosx=

[Гост]

[tex]8cosx=\frac{\sqrt{3} }{ sinx} +\frac{1}{cosx }[/tex]

Ето какво направих - първо определих допустимите стойности. Второ умножих по [tex]sinx[/tex] и двете страни на уравнението. Отляво остана [tex]4sin2x[/tex], а отдясно уравнение на тангенс. Чрез формула изразих синуса като тангенс, положих, но ми се получи гадно уравнение от трета степен. Има ли по-лесен начин?

[Knowledge Greedy]

Третата степен може по принцип да заменим с утроен аргумент. Да опитаме така: умножаваме двете страни по [tex]\frac{1}{2 }sinxcosx[/tex], отдясно получаваме [tex]\frac{1}{2 }sinx+\frac{\sqrt{3} }{ 2} cosx[/tex], което е [tex]sin(x+\frac{\pi }{3 })[/tex].
Лявата страна вече е [tex]4sinxcos^{2}x=2sin2xcosx=2.\frac{1}{ 2}(sin3x+sinx)[/tex].
При определеното дефиниционно множество уравнението е еквивалентно на [tex]sin3x+sinx=sin(x+\frac{\pi }{3 }).[/tex]
Сега групираме по друг начин [tex]sin3x=sin(x+\frac{\pi }{3 })-sinx[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]sin3x=2sin(\frac{\pi }{6 })cos(x+{\frac{\pi }{6}}[/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]sin3x=cos(x+{\frac{\pi }{6}}[/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]sin3x=sin({\frac{\pi }{3}}-x),[/tex] което е малко по-лесно