Трапец ABCD

[Гост]

Може ли малко помощ за тази задача:

Даден е трапец ABCD (AB||CD), AB=3CD и лице [tex]So[/tex]. Върху страните DA, AB и BC са взети съответно точки M, N и P като [tex]\frac{DM}{MA} =\frac{AN}{NB }=\frac{BP}{ PC} = k[/tex]. Докажете, че [tex]S_{MNP }\ge\frac{1}{ 4} So[/tex]

Благодаря предварително.

[Knowledge Greedy]

Да продължим бедрата на трапеца до точка [tex]Q[/tex]. От условието, ако означим [tex]MD=2kx[/tex], [tex]AM=2x[/tex], то[tex]DQ=(k+1)x[/tex] - за последното помага подобието на [tex]\Delta DCQ[/tex] и [tex]\Delta ABQ,[/tex] с коефициент на подобие [tex]\frac{CD}{AB }=1:3[/tex].
След това намираме лицето на [tex]\Delta ABQ,[/tex] чрез даденото [tex]S_0[/tex]. Отново заради горното подобие
лицето на [tex]\Delta ABQ[/tex] е 9 части, а на [tex]\Delta DCQ[/tex] 1 част, а разликата им е точно [tex]S_0[/tex].
Така че, без проблеми лицето на [tex]\Delta ABQ=\frac{9}{8}S_{0}.[/tex]
Да продължим с означенията: - нека [tex]CQ=(k+1)z[/tex], [tex]CP=2z[/tex] и [tex]BP=2kz[/tex] - виж отново условието.
Сега изразяваме лицата на [tex]\Delta MNA[/tex],[tex]\Delta NPB[/tex] и [tex]\Delta PMQ[/tex], като части от лицето на [tex]\Delta ABQ.[/tex] Останалото - разликата до цялото лице е лицето на [tex]\Delta MNP[/tex]. Накрая алгебричната оценка се свежда до един точен квадрат.

[Гост]

Много Ви благодаря. Сетих се какво трябва да направя.