12 клас стереометрия задачи

[Zellax]

Здравейте, имам проблем със задачите 1-10... Може ли едно рамо да ударите?

[Knowledge Greedy]

Виждаме списък. Човекът, който го изпраща не е чел задачите, не знае за какво иде реч, няма претенции към нивото на изложение. Следват решения, упътвания и отговори в същия стил.

Задача 1. Очевидна - отг. [tex]V=\frac{1}{4}d^{3}sin2{\alpha}cos\alpha[/tex]
Задача 2. Основна! Непосредствено намираме [tex]a=2\sqrt{3}R[/tex]. Само с една питагорова теорема определяме апотемата на околна стена [tex]k=3\sqrt{5}R[/tex]. За търсеното лице получаваме [tex]9\sqrt{ 15}R^{2}.[/tex]
Задача 3. Смята се по формулата [tex]V=B.H[/tex]
Лицето на основата [tex]B=a^{2}sin{\alpha} .[/tex] За височината ни трябва диагоналът на основата [tex]d=2 a cos{ \frac{\alpha }{4}}.[/tex]
Тогава [tex]H=2 a cos{ \frac{\alpha }{4}}tg{\beta} .[/tex] Остава да заместим.
Задача 4. В началото намираме по-дългият диагонал на основата [tex]AC=dcotg\frac{\alpha }{2}.[/tex]
Оттук лицето на основата е [tex]\frac{1}{2} d^{2}cotg\frac{\alpha }{2}.[/tex]
Ако пресечната точка на диагоналите е [tex]O[/tex], от [tex]\Delta OCC_1[/tex] определяме височината на призмата [tex]h=\frac{1}{2} dcotg{\alpha}cotg{\beta }[/tex] (Тук ще Ви пишат само "Добър (4)", а не "Отличен (6)" ако пропуснете да обясните, защо ъгълът [tex]\angle COC_1[/tex] e с мярка [tex]\beta[/tex]). Следва заместване на полученото лице на основата и височината на призмата във формулата за обема.
Задача 5. Не е трудно да съобразим, че единият диагонал е [tex]d_{1}=hcotg{\alpha}[/tex]; аналогично - другият диагонал е [tex]d_{2}=hcotg{\beta }[/tex], а щом ъгълът между тях е [tex]\gamma[/tex], то лицето на основата е [tex]\frac{1}{2} h^{2}cotg{\alpha}cotg{\beta }sin{\gamma}[/tex]. Следва заместване във формулата за обема.
Задача 6. Ако положението не беше толкова сериозно, тази задача може да именуваме задача-шега. Решаваме с косинусова теорема един триъгълник (околен ръб, апотема на срещулежащата стена и височина на основата), чиито дължини на страните са [tex]b, k[/tex]и [tex]\frac{a\sqrt{3} }{2}.[/tex] Намираме околния ръб [tex]b=\sqrt{{\frac{3a^{2}}{4}}+k^{2}-\frac{\sqrt{3} }{2 }ak}.[/tex]
Задача 7. Решавайки правоъгълен триъгълник от диагонално сечение на пирамидата, намираме [tex]H=\frac{a\sqrt{2} }{2 }cotg \alpha[/tex].Тъй като лицето на основата е [tex]a^2[/tex], остава само да заместим във формулата за обема.
Задача 8. Лицето на основата е [tex]a^2[/tex]. Търсим околната повърхнина. От правоъгълен триъгълник - част от сечението през апотема на околна стена и височината на пирамидата, със страни: височината [tex]H[/tex], апотемата [tex]k=\sqrt{{b^{2}-\frac{a^{2}}{4 }} }[/tex] и половината на основен ръб [tex]\frac{a}{2},[/tex] намираме [tex]k.[/tex] Тогава лицето на околната повърхнина е [tex]4.\frac{1}{2}ak=2ak[/tex] (защото са 4 околни стени!) Добавяме към лицето на основата и получаваме лицето на пълната повърхнина.
Задача 9. От условието веднага получаваме за апотемата [tex]k[/tex] следното [tex]\frac{k}{\frac{a}{2 } }=cotg{\alpha}[/tex]. Т.е. [tex]k={\frac{a}{2 }cotg{\alpha}[/tex]. Основният ръб получаваме така: [tex]a=\frac{m}{\sqrt{2} }[/tex] и всичко за околната повърхнина на пирамидата е намерено. За обема ни трябва и височината [tex]H.[/tex] Намираме я от правоъгълния триъгълник със страни [tex]H, k[/tex] и [tex]\frac{a}{2} .[/tex] Прилагаме формулата за обема [tex]V=\frac{1}{3} B.H[/tex]
Задача 10. Лицето на основата е [tex]B=\frac{\sqrt{3} }{2}a^{2} .[/tex] Апотемата е [tex]k=\frac{a}{2} tg{\alpha }[/tex].
Следователно за лицето на повърхнината няма проблеми. За височината остана да разгледаме само един правоъгълен триъгълник - с катети [tex]H[/tex] и [tex]\frac{a\sqrt{3} }{6 }[/tex], и хипотенуза [tex]k[/tex]. Оттук[tex]H^{2}=k^{2}-\frac{a^{2}}{12}.[/tex] Намираме височината и обемът е в партер.

Дотук едно рамо.
Сега бързам, че изпуснах филма "Стой, или мама ще стреля!"