Намерете двустенния ъгъл в правилна четириъгълна пирамида

[Гост]

Може ли малко помощ за тази задача. Трябват ми насоки от кои триъгълници да намеря r и R.

Намерете двустенния ъгъл в правилна четириъгълна пирамида, ако радиусът на описаната около нея сфера е 2,5 пъти по-голям от радиуса на вписаната в нея сфера.

Благодаря предварително.

[kmitov]

Зор! Няма да стане скоро.

[kmitov]

Гледам, че като притурям произволни съобщения може и напреднал да стана.

[kmitov]

Има специалисти по тия въпроси. Ще ти направят сметката.

[monika_at]

ggg_st.png (25.17 KiB) Прегледано 221 пъти

Хубава задача. Предлагам да я разпишем в по-общия случай, когато отношението е к.
Нека [tex]Q_1[/tex] е диаметрално противоположната на [tex]Q[/tex] точка, лежаща на сферата. Тогава [tex]QQ_1=2R[/tex] и от правоъгълния [tex]\Delta QAQ_1=l^2=2Rh[/tex](1)
[tex]\Delta AOQ=> l^2=h^2+(\frac{a\sqrt{2} }{ 2} )^2[/tex](3)
[tex]\Delta OMQ=>h=\frac{a}{2 } tg\varphi[/tex] От (1), (2), (3)=>
[tex]R=\frac{a}{ 4} .\frac{2+tg^2\varphi }{ tg\varphi }[/tex]. Oт [tex]\Delta OMO_1=>r=\frac{a}{ 2}tg{\frac{\varphi }{ 2}}=>k=\frac{R}{r }=\frac{2+tg^2\varphi }{ 2tg\varphi tg{\frac{\varphi }{2 } }[/tex]. Прилагайки формулата за удвоен ъгъл на тангенса и подреждайки по степените му, получаваме:

[tex](1+2k)tg^4{\frac{\varphi }{2} } -2ktg^2{\frac{\varphi }{2} }+1=0[/tex].

При [tex]k\in [1+\sqrt{2} ; +\infty )[/tex]това уравнение има само положителни корени. Тъй като [tex]\frac{\varphi }{2 } <\frac{\pi }{ 4}[/tex],тези корени са в интервала [tex](0; 1)[/tex]. В твоя случай отношението 5:2 е в този интервал.
В твоята задача ще имаме [tex]6t^2-5t+1=0=>t_1=\frac{1}{2 } ; t_2=\frac{1}{6 } =>(tg{\frac{\varphi }{2} } )_1=\frac{\sqrt{6} }{ 6} ; (tg{\frac{\varphi }{2} } )_2=\frac{\sqrt{2} }{ 2}[/tex]

ЗАБ: Задачата може да се доразвие. Кога ще съвпаднат центовете?
Дискриминантата ще е 0, когато [tex]k=1+\sqrt{2}[/tex] и тогава стойността на всеки един от тангенсите ще е [tex]\sqrt{\sqrt{2} -1}[/tex]
Центовете на двете сфери ще съвпадат, само тогава, когато [tex]R+r=h[/tex] Замествайки с техните равни в това равенство, получаваме, че [tex]tg{\frac{\varphi }{ 2} }=\sqrt{\sqrt{2} -1}[/tex]=>
центовете съвпадат при най-малката възможна стойност на к.