Правоъгълен трапец ABCD

[Гост]

Даден е правоъгълен трапец ABCD(ъгъл A е 90 градуса, AB||CD) и cos(ABC)=3/5. В ABC и ACD са вписани окръжности с центрове съответно M и K, които се допират до AC в обща точка T. Ако CM=5, CK=[tex]2\sqrt{5}[/tex] докажете, че в трапеца може да се впише окръжност и пресметнете страните му.

Доказах, че може да се впише окръжност, но нататък не знам какво да правя. Някакви идеи?

[Гост]

[tex]6,8,10,12[/tex]

[Евва]

Утре ще пратя решението , отговорът е верен .

[Евва]

Окръжност [tex]Z_{1 }[/tex](K;[tex]r_{1 }[/tex])-вписана в [tex]\triangle[/tex]ACD ,окръжност [tex]Z_{2 }[/tex](M;[tex]r_{2 }[/tex])-вписана в [tex]\triangle[/tex]АВС ,окръжност [tex]Z_{3 }[/tex](O;[tex]r_{3 }[/tex]=[tex]\frac{AD}{2}[/tex])-вписана в ABCD .
Нека [tex]Z_{1 }[/tex] се допира до CD в т.Р,[tex]Z_{3 }[/tex] се допира до AB,BC,CD съответно в т.[tex]G_{1 }[/tex],[tex]G_{2 }[/tex],[tex]G_{3 }[/tex] и [tex]Z_{2 }[/tex] се допира до ВС в т.Е,до АВ в т.Н.
Означаваме AD=h,B[tex]G_{1 }[/tex]=a,C[tex]G_{3 }[/tex]=b,P[tex]G_{3 }[/tex]=y,DP=[tex]r_{1 }[/tex], [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex]
______________________________________________________________________________________________________________________
cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{BH}{BC}[/tex] ; [tex]\frac{3}{5}[/tex]=[tex]\frac{a-b}{a+b}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] a=4b (1) ,тогава BC=a+b ; BC=5b (2)

sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{CH}{BC}[/tex] ; [tex]\frac{4}{5}[/tex]=[tex]\frac{h}{5b}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] h=4b (3)

(y=?) [tex]G_{1 }[/tex]HC[tex]G_{3 }[/tex]-правоъгълник [tex]G_{1 }[/tex]H=b [tex]\Rightarrow[/tex] BH=a-b=BE [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]G_{2 }[/tex]E=b намираме CE=C[tex]G_{2 }[/tex]+E[tex]G_{2 }[/tex]=2b

CP=C[tex]G_{3 }[/tex]+P[tex]G_{3 }[/tex]=b+y досещаме се,че СЕ=СТ=СР ,получаваме 2b=b+y [tex]\Leftrightarrow[/tex] y=b (4)

В ABCD може да се впише окр.[tex]\Rightarrow[/tex] AB+CD=AD+BC ; ([tex]r_{1 }[/tex]+y+a)+([tex]r_{1 }[/tex]+y+b)=h+a+b ; [tex]r_{1 }[/tex]=b (5)

[tex]\triangle[/tex]KCP-правоъгълен [tex]r_{1 }^{2}[/tex]+[tex](y+b)^{2}[/tex]=[tex](2\sqrt{5})^{2}[/tex] ; [tex]b^{2}[/tex]+[tex](b+b)^{2}[/tex]=20 ; b=2 [tex]\Rightarrow[/tex] a=8

AD=4h=8 , AB=[tex]r_{1 }[/tex]+y+a=2+2+8=12 , BC=a+b=10 , CD=[tex]r_{1 }[/tex]+y+b=6

Скрит текст: покажи

Сигурно имам грешка,ама греда в своите очи трудно се забелязва.Приемам съвети .