Параметрично уравнение от 4-та степен

[Гост]

Имам нужда от някаква идея за тази задача:
За кои стойности на реалния параметър [tex]m[/tex] уравнението
[tex]x^{4}-32x+49-m^{2}=0[/tex] има 2 положителни реални корена.

Задължително ли е да преместя параметъра отдясно и да анализирам и начертая графиката на функцията?
Благодаря предварително.

[kmitov]

Този начин ще свърши работа. [tex]f(x)=x^4-32x+49[/tex] намалява в [0 2] и расте в [tex][2,\infty)[/tex]. НМС = 1
Графиката пресича Оy в 49. Tака за [tex]0<m^2<49[/tex] ще се получат реални положителни корени.

[Knowledge Greedy]

Да, графиката определено ще помогне.
Разгледай [tex]f(x)=x^{4}-32x+49[/tex]. Изследването ще покаже, че локалният минимум [tex]f_{min}(x)=f(2)=1[/tex] и за да може да се получат точно два реални корена - абсцисите на пресечните точки с графиката на [tex]y=m^{2}[/tex], ще трябва [tex]m^{2}>1\Leftrightarrow |m|>1[/tex] т. е. [tex]m\in (-\infty; -1)\cup (1;+\infty)[/tex].
Остава да отчетем , че по-малкият корен е положителен. Явно това става при [tex]m^{2}<f(0)=49\Leftrightarrow |m|<7[/tex]. Следователно [tex]m\in (-7; -1)\cup (1;+7)[/tex].

[Гост]

Само да Ви попитам, с чертане на графиката ли установихте, че [tex]1<m^{2}<49[/tex]?

[Knowledge Greedy]

Графиката помогна, да. Но решаващ е анализът на поведението на функцията. В интервала [tex](-\infty; 0][/tex] функцията намалява, но пресечните точки на графиката и с правата [tex]y=m^{2}[/tex] са с ординати над [tex]y=f(0)=49[/tex] и наляво от ординатната ос, значи с абсциси [tex]x\le 0[/tex]. Значи уравнението би имало отрицателен корен (по-малкият от двата). Ето защо е необходимо [tex]y=m^{2}<49[/tex]. Абсцисите на тези пресечни точки са положителни. Съчетано с другото условие дава решението на задачата.