Произволен четириъгълник

[Гост]

Диагоналите на четириъгълника ABCD се пресичат в точка O. Точките О1, О2, О3, О4 са центрове на окръжностите описани около AOB, BOC, COD и DOA. Докажете, че точките О1, О2, О3, О4 са върхове на успоредник.

[Knowledge Greedy]

Въпрос: Какво представлява центърът на описаната окръжност на даден триъгълник?
Отговор: Точка, която се намира на равни разстояния от върховете на триъгълника.
............................................................
Въпрос: Разглеждаме една отсечка - страна на триъгълника. Къде се намират точките, които са на равни разстояния от краищата на тази страна?
Отговор: Върху симетралата на отсечката.
------------------------------------------------------------
Въпрос: Къде се разполага центърът на описаната окръжност на даден триъгълник?
Отговор: Върху всяка от симетралите на страните на триъгълника.
------------------------------------------------------------
Въпрос: Имат ли нещо общо четирите триъгълника [tex]\Delta AOB, \Delta BOC, \Delta COD[/tex] и [tex]\Delta DOA[/tex], освен общия връх точка [tex]O[/tex]?
Отговор: Да - съседните, два по два имат обща страна -
[tex]BO[/tex] - на [tex]\Delta AOB[/tex] и [tex]\Delta BOC[/tex],
[tex]CO[/tex] - на [tex]\Delta BOC[/tex] и [tex]\Delta COD[/tex],
[tex]DO[/tex] - на [tex]\Delta COD[/tex] и [tex]\Delta AOD[/tex] и
[tex]AO[/tex] - на [tex]\Delta AOD[/tex] и [tex]\Delta AOB[/tex].
Извод: Симетралите на тези страни също са общи! И тъй като първата и третата са части от диагонала [tex]BD[/tex], симетралите им ще са успоредни (тъй като и двете са перпендикулярни на [tex]BD[/tex].
Същото и за втората и четвъртата - [tex]CO[/tex] и [tex]AO[/tex] са части от диагонала [tex]AC[/tex], следователно [tex]s_{AO} \: \bot AC[/tex] и [tex]s_{CO} \: \bot AC[/tex], значи [tex]s_{AO} || s_{CO}[/tex] .
Окончателен извод. Въпросните четири точки [tex]O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}[/tex] са върхове на четириъгълник, чиито страни са части от симетралите, значи този четириъгълник е успоредник.

[Гост]

Благодаря, описанието ти беше много подробно и полезно.