Произволен триъгълник. Да се намери CM ако AB=9, AC=6 и CB=5

[Гост]

Върху страната AB на триъгълник ABC е взета точка M, като AM=4. Да се намери CM, ако AB=9, AC=6 и CB=5.

[Knowledge Greedy]

Две косинусови теореми - за [tex]\Delta AMC[/tex] и за [tex]\Delta BMC[/tex], при което трябва да се изключи [tex]cos\angle AMC[/tex]. Да не се забравя, че [tex]cos\angle BMC=-cos\angle AMC[/tex], тъй като двата ъгъла се допълват до [tex]180^{^\circ}[/tex].
-------------------------------------------
II начин - основен. Прилагаме косинусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex] - намираме [tex]cos\angle BAC[/tex], след което включваме този косинус в косинусова теорема за [tex]\Delta AMC[/tex].
------------------------------------------
III начин. Косинусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex] - намираме [tex]cos\angle ABC[/tex], след което включваме този косинус в косинусова теорема за [tex]cos\angle BMC[/tex].
-----------------------------------------

Косинуси на съседни ъгли.PNG (4.79 KiB) Прегледано 193 пъти

IV начин (чертежа горе). С помощта на определението за косинус изразяваме [tex]cos\angle BMC[/tex] от равнобедрения [tex]\Delta BCM[/tex], а именно [tex]cos \varphi = \frac{CM}{10 }[/tex]. Заместваме полученото в косинусова теорема за [tex]\Delta AMC[/tex], като внимаваме за [tex]cos\angle AMC = - cos\varphi[/tex] и от полученото непълно квадратно уравнение за [tex]CM[/tex] приемаме само положителния корен за отговор.
-----------------------------------------
V начин. Пряко приложение на теорема на Стюарт.
===============================

Отг. [tex]CM=3\frac{1}{3}.[/tex]

[math10.com]

Много решения и,а си пропуснал най-лесното
Разглеждаме [tex]\triangle AMC ,\triangle ABC[/tex]
[tex]\angle A[/tex] е общ и [tex]\frac{AC}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]\Right \triangle AMC \approx \triangle ABC[/tex] по 2-ри признак [tex]\Right \frac{CM}{BC}=\frac{2}{3} \Right CM=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}[/tex]

[monika_at]

Много решения и,а си пропуснал най-лесното
Разглеждаме [tex]\triangle AMC ,\triangle ABC[/tex]
[tex]\angle A[/tex] е общ и [tex]\frac{AC}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]\Right \triangle AMC \approx \triangle ABC[/tex] по 2-ри признак [tex]\Right \frac{CM}{BC}=\frac{2}{3} \Right CM=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}[/tex]

Така е, лесно е, но само защото числата са пропорционални. Ако не са, останалите решения са в сила винаги