Тригонометрично уравнение с параметър

[Гост]

Здравейте!

Задачата е следната:
[tex]\sqrt{a+\sqrt{a+sinx} }[/tex]=[tex]sinx[/tex]
За кои стойности на [tex]a[/tex], уравнението има решение.

Намирам допустимите стойности само за дясната страна, което е достатъчно, нали?
След това вдигам на квадрат, целта ми е да отделя параметъра, ама ми стават гадни сметките и не мога да продължа.

[Гост]

Не , не е достатъчно
Естествено е да поискаш още и [tex]a+sinx\ge 0[/tex].

[Гост]

И тези допустими стойности ги направих, но като вдигна 2 пъти последователно на квадрат, не мога да отделя параметъра.

[Knowledge Greedy]

[tex]\sqrt{a+\sqrt{a+sinx} }=sinx[/tex]
За кои стойности на [tex]a[/tex], уравнението има решение?
В началото бе дефиниционното множество.
След това да положим [tex]sinx=u[/tex]. Повдигаме един път на втора степен. Получаваме
[tex]a+\sqrt{a+u} =u^{2}[/tex]
Полагаме втори път [tex]\sqrt{a+u} =y[/tex]. Отново повдигаме на втора степен. Получаваме система
[tex]\left |\begin{matrix}
y^2 = & a+u \\
u^2 = & a+y
\end{matrix}\right[/tex] Изваждаме почленно (временно елиминираме параметъра) и разлагаме
[tex](u-y)(u+y+1)=0[/tex]
Едната възможност [tex]u=y[/tex] дава [tex]u^{2}-u-a=0[/tex], в интервала [tex][-1;1][/tex].
Втората възможност [tex]u+y+1=0[/tex] води до [tex]u^{2}-u+1-a=0[/tex], което да има корен в интервала [tex][-1;1][/tex].
Следователно търсим онези стойности на параметъра [tex]a[/tex], за които в поне един от случаите уравнението има корен в интервала [tex][-1;1][/tex].
И сега започваме да пишем условията, начело с дискриминантата...

[math10.com]

Хубаво изследваш , но ако си напишеш последователно допустимите стойности ще спестиш половината от нещата ,които си писал.
1-во:При полагането [tex]sin x= u[/tex] имаме [tex]u=\sqrt{a+\sqrt{a+u}}=u \Right u\ge 0[/tex]
2-ро:При полагането [tex]\sqrt{a+sin x}= y \Right y\ge 0[/tex]
От тук като решиш получената система ще забележиш ,че [tex]u+y+1=0[/tex] не е решение [tex](u\ge 0, y\ge 0 \Right u+y+1\ge 1 \ne 0)[/tex] и единствено остава [tex]u=y[/tex]
И решаваме:[tex]u=\sqrt{a+u} \Right u^2=a+u \Right u^2-u-a=0[/tex]
[tex]D=\sqrt{1+4a}\ge 0 \Right a\ge -\frac{1}{4}[/tex] Това е условието уравнението да има решение.
От формулите на Виет следва ,че ако [tex]u_1\in [0;1] ; u_1+u_2=1 \Right u_1.u_2\ge 0 \Right -a\ge 0 \Right a\le 0[/tex]
Правим сечението на двата интервала и получаваме окончателното решение:[tex]a\in [-\frac{1}{4};0][/tex]