Функции

[Гост]

Тази задача ми е много важна за оценката по математика, моля помогнете : |
Ще оценя и малката информация и помощ която ми дадете .

webcam-toy-photo2.jpg (64.79 KiB) Прегледано 176 пъти

[Knowledge Greedy]

Щом [tex]f(x)=x^3-3(a-1)x^2+a[/tex], то [tex]f^{'} (x)=3x^2-6(a-1)x[/tex].
Решаваме уравнението [tex]f^{'} (x)=0[/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]3x(x-2a+2)=0[/tex].
Корените са [tex]x_{1}=0[/tex] и [tex]x_{2}=2-2a[/tex].
Втората производна [tex]f^{''} (x)=6x+6-6a[/tex] ще ни информира за вида на екстремумите.
Заместваме [tex]x[/tex] с първия корен
От [tex]f^{''} (0)=6.0+6-6a<0[/tex] следва, че за [tex]x=0[/tex] функцията ще има максимум.
Намираме този максимум [tex]y_{max}= f(0)=0^3-3(a-1).0^2+a=a[/tex] [tex](\ast)[/tex]
Самото [tex]a[/tex] ще намерим от условието [tex]x^{2} _{1}+x^{2}_2=36[/tex], като заместим с откритите по-горе [tex]x_{1}=0[/tex] и [tex]x_{2}=2-2a[/tex].
[tex]0^{2} +(2-2a)^{2}=36[/tex] [tex]\Leftrightarrow |2a-2|=6[/tex]
И тъй като по условие [tex]a>1[/tex], единственото такова [tex]a=4[/tex].
Връщаме се в [tex](\ast)[/tex] и получаваме отговора на а): поради това, че [tex]y_{max}= 4[/tex] , то [tex]f(4)=4^3-3(4-1)4^2+4[/tex] . Следователно [tex]f(y_{max})=f(4)=-76.[/tex]

б) При [tex]a=2[/tex] функцията е [tex]f(x)=x^3-3x^2+2[/tex]
[tex]f(x)=0\Leftrightarrow x_{1}=1, x_{2,3}=1\pm \sqrt{3}[/tex]
първата производна [tex]f^{'} (x)=3x^2-6x[/tex]
Корените на първата производна са [tex]x_{1}=0[/tex] и [tex]x_{2}=2[/tex].
Втората производна е [tex]f^{''} (x)=6x-6[/tex] и след заместването
[tex]f^{''} (0)=6.0-6<0[/tex] правим извод [tex]f(x[/tex]) има локален максимум [tex]y_{max}=f(0)=2[/tex],
а след заместването [tex]f^{''} (2)=6.2-6>0[/tex] правим извод [tex]f(x[/tex]) има локален минимум [tex]y_{min}=f(2)=-2[/tex].
Втората производна е [tex]f^{''} (x)=0\Leftrightarrow x=1[/tex] , което означава, че в [tex]x=1[/tex] функцията има инфлексна точка. В интервала [tex](-\infty ,1)[/tex] графиката и е вдлъбната (изпъкнала нагоре), а в интервала [tex](1, +\infty )[/tex]графиката и е изпъкнала - за това получаваме информация от знака на втората производна [tex]f^{''} (x)<0[/tex] и [tex]f^{''} (x)>0[/tex] съответно за двата интервала.

Кубична с максимум в нулата и минимум -2.PNG (3.87 KiB) Прегледано 163 пъти

На графиката се вижда как функцията нараства (от ляво - надясно) в интервала [tex](- \infty ,0)[/tex] и в
(2,+\infty ).Наистина, като решим неравенството [tex]f^{'} (x)>0[/tex][tex]\Leftrightarrow 3x(x-2)>0,[/tex] получаваме точно тези два интервала. Обратно, ако обърнем знака на неравенството [tex]f^{'} (x)<0[/tex][tex]\Leftrightarrow 3x(x-2)<0\Leftrightarrow \forall t \in (0;2)[/tex] - в този интервал графиката е насочена надясно-надолу; функцията е намаляваща.
Добре е за прегледност всички тези резултати да разположим в таблица заедно с някои забележителни стойности на функцията, част от които са показани на чертежа. Например точките[tex]1-\sqrt{3}[/tex] и [tex]1+\sqrt{3}[/tex],
в които функцията придобива стойност нула.

[Гост]

Много Ви благодаря