Функции и производни

[Гост]

[Knowledge Greedy]

Задача 2. Знаем, че въведеното число [tex]i[/tex] - така наречената имагинерна единица има характеристичното свойство [tex]i^2=-1[/tex]. Това ни помага вече да не се плашим от отрицателните дискриминанти и да решаваме уравнения с отрицателни такива.
Например, ако [tex]D=-4[/tex], то [tex]\sqrt{D}=\pm 2i[/tex]. А в случая [tex]D=-16[/tex] , следователно [tex]\sqrt{D}=\pm 4i[/tex].
Така [tex]x_{1,2}=\frac{-2\pm 4i }{2 }[/tex]
и след съкращаване
[tex]x_{1,2}=-1\pm 2i[/tex]

[Knowledge Greedy]

За задача 3, моля малко повече условия! Не се вижда много на снимката .
------------------------------------

Задача 4. Изследвайте функцията [tex]y=x^3+6x^2[/tex]
Решение:
Ще проведем изследването по следните опорни пунктове - според [tex]y=0;[/tex] [tex]y^{'} =0[/tex] и [tex]y^{''} =0.[/tex]
1) Решенията на уравнението [tex]y=0 \Leftrightarrow x^3+6x^2=0\Leftrightarrow x^2(x+6)=0[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{1}=0\\
x_{2}=-6
\end{matrix}\right.[/tex] наричаме нули на функцията [tex]y[/tex].
Естествено е да се запитаме, а възможно ли е [tex]y<0[/tex]?
Решавайки неравенството [tex]y<0\Leftrightarrow x^3+6x^2<0\Leftrightarrow x^2(x+6)<0\Leftrightarrow x<-6[/tex],
получаваме [tex]\forall x \in ( -\infty;-6 ).[/tex] Последният интервал се нарича интервал на запазване знака на [tex]y[/tex]. В този интервал [tex]y[/tex] приема отрицателни стойности [tex](\ast)[/tex]
Като решим и неравенството [tex]y>0\Leftrightarrow x^3+6x^2>0\Leftrightarrow x^2(x+6)>0\Leftrightarrow x>-6[/tex], като тук трябва и [tex]x\ne 0[/tex] , получаваме други интервали на постоянство на знака, а именно [tex]\forall x \in (-6;0)\cup (0;+\infty )[/tex] - тук [tex]y[/tex] приема само положителни стойности [tex](\ast \ast)[/tex]
2) Първата производна [tex]y^{'}[/tex] ни показва бързината на изменението на функцията [tex]y[/tex].
Тя е [tex]y^{'} =3x^2+12x[/tex].
Решаваме уравнението [tex]y^{'} =0\Leftrightarrow 3x^2+12x=0\Leftrightarrow x(x+4)=0\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{3}=0\\
x_{4}=-4
\end{matrix}\right.[/tex] [tex](\ast \ast\ast)[/tex] Получените числа наричаме особени точки и в тях най-често функцията достига своите локални екстремуми.
Както и в 1) се питаме дали можем да решим неравенството [tex]y^{'} <0[/tex] . Можем! То е равносилно на [tex]3x^2+12x<0\Leftrightarrow x(x+4)<0\Leftrightarrow[/tex]
Решенията са [tex]\forall x \in ( -4;0 )[/tex]. Казваме, че в този интервал функцията [tex]y[/tex] е намаляваща.
А кога е растяща? Когато [tex]y^{'} >0[/tex]. Това се случва в останалите интервали, а именно в [tex](-\infty ;-4)\cup (0;+\infty )[/tex]. Защо дадохме отговора мълниеносно, а не отново решавайки другото уравнение [tex]y^{'} >0[/tex]?
-А какво и` остава на една непрекъсната функция?!
3) Сега ще определим вида на всеки от екстремумите в точките [tex](\ast \ast\ast)[/tex] като заместим във втората производна с тези стойности.
Втората производна е [tex]y^{''} = 6x+12[/tex].
[tex]y^{''}(-4) = 6.(-4)+12=-12[/tex]. Щом [tex]y^{''}(-4)<0,[/tex] то за [tex]x=-4[/tex] функцията [tex]y[/tex] притежава локален максимум, който ще изчислим по-долу.
[tex]y^{''}(0) = 6.(0)+12=12[/tex]. Щом [tex]y^{''}(0)>0,[/tex] то за [tex]x=0[/tex] функцията [tex]y[/tex] достига своя локален минимум, който също ще изчислим по-долу, в таблицата.
Ролята на втората производна не свършва дотук. С нея можем да определим огънатостта на графиката на функцията [tex]y[/tex] . А именно [tex]y^{''}<0\Leftrightarrow 6x+12<0\Leftrightarrow x<-2[/tex] или в интервала [tex](-\infty ,-2)[/tex] казваме, че [tex]y[/tex] е вдлъбната (респективно - графиката на [tex]y[/tex] е вдлъбната или още изпъкнала нагоре).
Обратното - когато [tex]y^{''}>0\Leftrightarrow 6x+12>0\Leftrightarrow x<-2[/tex] или в интервала [tex](-2; \infty)[/tex] казваме, че [tex]y[/tex] е изпъкнала (респективно - графиката на [tex]y[/tex] е изпъкнала).
А какво стана с уравнението [tex]y^{''} =0[/tex]? Единственото му решение [tex]x=-2[/tex] се оказва, че е точка на смяна на огънатостта или още инфлексна точка на функцията [tex]y[/tex].
Резултатите нанасяме в таблица.

Графиката като essay 2.PNG (6.35 KiB) Прегледано 279 пъти

Знаците (-) и (+) показват знаците на постоянство в съответния интервал на аргумента [tex]x[/tex]
Стрелките отляво-надясно и отдолу нагоре означават растене,
стрелките отляво-надясно и отгоре-надолу означават намаляване.
Покриващата дъга (арка) означава вдлъбнатост, събиращата дъга (купа) означава изпъкналост.
Графиката строим на базата на резултатите, систематизирали изследването в направената таблица.

Графиката като essay.PNG (4.93 KiB) Прегледано 279 пъти