Продължаваме с 2б)
Намерете НМС и НГС на функцията
[tex]y= \frac{x}{x^2+1}[/tex]
Решение. В случая е по-удобно да работим с неравенството между средно аритметично и средно геометрично.
Ето го [tex]\frac{a+b}{2 } \ge \sqrt{ab}[/tex] . Негов недостатък е, че важи само за положителни величини [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex].
При [tex]x=0 \Rightarrow y=0[/tex].
Нека [tex]x\ne 0[/tex].
Делим числителя и знаменателя на [tex]x[/tex]
[tex]y= \frac{x/x}{(x^2+1)/x}[/tex] , съкращаваме и получаваме [tex]y= \frac{1 }{x+\frac{1}{ x} }[/tex].
Ще разгледаме два случая. Когато [tex]x>0[/tex] от неравенството между средно аритметично и средно геометрично за [tex]a=x[/tex] и [tex]b= \frac{1}{x }[/tex] получаваме за знаменателя [tex]x+\frac{1}{ x}\ge 2[/tex]. Следователно [tex]\frac{1 }{x+\frac{1}{ x} }\le \frac{1}{2 }[/tex].
Това означава че [tex]y\le \frac{1}{2 }[/tex], откъдето [tex]y_{max}=\frac{1}{2 }[/tex].
А сега да разгледаме случая [tex]x<0.[/tex] Значи [tex]-x>0[/tex]
От неравенството между средно аритметично и средно геометрично получаваме за [tex]a=-x[/tex] и [tex]b= \frac{1}{-x }[/tex] (които нагласихме да са положителни
)
[tex]-x+\frac{1}{ -x}\ge 2\sqrt{(-x)\frac{1}{(-x) } }[/tex]. Следователно [tex]\frac{1 }{-x+\frac{1}{ (-x)} }\le \frac{1}{2 }[/tex].
Това означава че [tex]-y\le \frac{1}{2 }[/tex] и следователно [tex]y\ge - \frac{1}{2 }[/tex]
Така [tex]y_{min}=-\frac{1}{2 }[/tex] .
Отговор: [tex]HMC=-\frac{1}{ 2}[/tex] и [tex]H\Gamma C=\frac{1}{ 2}[/tex]
---------------------------------------------
Разбира се тук тихомълком приемаме, че знаем за непрекъснатостта на функцията [tex]y= \frac{x}{x^2+1}[/tex]
.
Feci, quod potui, faciant meliora p0tentes.
Сторих каквото можах, по-добрите по-добро да направят.
Меню
