Няколко кандидат-студентски задачи за УНСС

[Гост]

Добър ден !! Има няколко задачи ,които ме мъчат и просто не мога да им изкарам отговорите.Предварително благодаря !!

1941558_677450078984567_698869021_o.jpg (55.49 KiB) Прегледано 220 пъти

1941558_677450078984567_698869021_o.jpg (55.49 KiB) Прегледано 220 пъти

[Knowledge Greedy]

Първата 17. По определението за синус на ъгъл в правоъгълен триъгълник (гледай си чертежа!)
[tex]sin\alpha= \frac{CH}{ AC}[/tex], следователно [tex]\frac{CH}{ AC}=\frac{2}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{CH}{ 12}=\frac{2}{3}[/tex][tex]\Rightarrow CH=8[/tex].

Първата 18. Знаем формула свързваща част от тези величини. [tex]S= \frac{abc}{ 4R}[/tex] [tex](\ast)[/tex]
Но [tex]S=\frac{ch_c}{2 } \Rightarrow \frac{2S}{c } =h_c[/tex]. С помощта на тази формула се връщаме в [tex](\ast)[/tex] и изключваме [tex]S[/tex] и [tex]c[/tex], за които не знаем нищо.
Така от [tex](\ast)[/tex] изразяваме [tex]R= \frac{ab}{ 2h_c}= \frac{12.15}{ 2.9}= 10[/tex].

[Knowledge Greedy]

Сега видях, че няма втора 18, а яко си се презапасил, белким някой ти обърне внимание.
12.
Дефиниционната област се задава, за да може с числата от нея да се изпълняват операциите, които са включени във функцията.
Условията са:
- не се дели на нула, следователно [tex]x+2\ne 0[/tex] (Виж си знаменателя в логаритъма на функцията!)
- не се логаритмува отрицателно [tex]\frac{x-1}{ x+2} >0[/tex] (Виж това, което се логаритмува в твоята функция!!)
- основата на логаритъма не може да е отрицателна, нула или 1 , следователно [tex]x+3>0[/tex] и [tex]x+3\ne 1[/tex]
(Виж основата на твоята логаритмична функция!!!)
Всички тези ограничения оформяме като система, която решаваме.
[tex]\left|\begin{matrix}
x & \ne -2\\
\frac{x-1}{ x+2} &>0 \\
x & >-3\\
x+3 & \ne 1
\end{matrix}\right.[/tex]
Веднага се вижда, че само [tex]12A)[/tex] удовлетворява всички условия на системата.

[Knowledge Greedy]

Първата 13.
[tex]\lim_{x \mapsto\frac{\pi }{4 } }\frac{\sqrt{2}cosx-1 }{ 1-tg^2x}[/tex]
Превръщаме тангенса в знаменателя, като синус върху косинус.
[tex]\lim_{x \mapsto\frac{\pi }{4 } }\frac{\sqrt{2}cosx-1 }{ 1-\left ( \frac{sinx}{cosx } \right )^2}[/tex]
Привеждаме под общ знаменател самия знаменател
[tex]\lim_{x \mapsto\frac{\pi }{4 } }\frac{\sqrt{2}cosx-1 }{ \frac{cos^2x- sin^2 x}{cos^2 x }[/tex]
В числителя на знаменателя използваме формулата [tex]cos^2x- sin^2 x=2cos^2x-1,[/tex] като при това разлагаме на множители, а именно [tex](\sqrt{2} cosx+1)(\sqrt{2} cosx-1)[/tex] . В границата всичко това изглежда удобно за съкращаване, като при това знаменателят [tex]cos^2 x[/tex] на знаменателя застава в числителя.
[tex]\lim_{x \mapsto\frac{\pi }{4 } }{\frac{\cancel{\sqrt{2}cosx-1} }{ (\sqrt{2} cosx+1)\cancel{(\sqrt{2} cosx-1)}} cos^2 x}[/tex][tex]=\frac{cos^2 {\frac{\pi }{4 } }}{\sqrt{2} cos{\frac{\pi }{4 } }+1 }=\frac{1}{4 }[/tex]

[Knowledge Greedy]

Втората 13.
[tex]f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2[/tex]
Функцията е нагласена така, че да се отдели леко точен квадрат
[tex]f(x)=(2x-a)^2-2a+2[/tex]
Както знаем за всеки квадрат [tex]K^2\ge0[/tex]. Това значи, че минималната стойност на [tex]K^2[/tex] e [tex]0.[/tex]
[tex](2x-a)^2\ge 0[/tex] значи минималната стойност на [tex](2x-a)^2[/tex] е нула.
Тогава [tex]f(x)=(2x-a)^2-2a+2[/tex] има минимална стойност нула плюс [tex]-2a+2[/tex], значи [tex]-2a+2[/tex].
По условие тази стойност е [tex]3[/tex], следователно [tex]-2a+2=3[/tex].
Оттук [tex]a=-\frac{1}{2 }[/tex] .

[Knowledge Greedy]

14.
Решете уравнението [tex]cos2x=\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex].
Понеже знаем, че [tex]\frac{\sqrt{3} }{2}=cos \frac{\pi }{ 6}[/tex] записваме уравнението така
[tex]cos2x=cos {\frac{\pi }{ 6}}[/tex]
Тъй като знаем, че функцията косинус е четна, т.е. [tex]cos(-\alpha )=cos\alpha[/tex] и от горното се получава
[tex]2x=\pm \frac{\pi }{ 6}[/tex]
А тъй като функцията косинус е периодична, с най-малък положителен период [tex]2\pi[/tex], към отговорите се добавят цяло количество периоди
[tex]2x=\pm \frac{\pi }{ 6}+2\pi .m[/tex]
Отговор:
[tex]x=\pm \frac{\pi }{ 12}+m\pi[/tex]

[Knowledge Greedy]

15.
С една теорема на Талес за [tex]\angle DBC[/tex] и двойката успоредни прави [tex]DC||PQ ,[/tex] пренасяме даденото отношение върху диагонала [tex]BD[/tex], а именно [tex]DN:DB=3:4[/tex].
Със следващата теорема на Талес - за [tex]\angle ADB[/tex] пряко получаваме отговора [tex]PN=\frac{3}{4 } .8=6[/tex]
16.
На чертежа се забелязва погрешно нанасяне на данните от условието. Бедрата са по [tex]13,[/tex] а основата е [tex]10[/tex]. Решението може да се получи бързо с една питагорова теорема - за откриване на височината [tex](h_c=\sqrt{13^2-5^2}=12)[/tex] и след това с формулата [tex]S=\frac{c.h_c}{2 }=\frac{10.12}{2 }=60[/tex].

(Или без чертеж - с хероновата формула: [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
[tex]p=\frac{13+13+10}{2 }=18[/tex], [tex]p-a=p-b=18-13=5[/tex] и [tex]p-c=18-10=8[/tex] [tex]\Rightarrow S=\sqrt{18.5.5.8}=3.5.4=60[/tex])
Втората 17.
Ъгълът между дадените височини е на практика точно острият ъгълна успоредника. Формулата за лицето е [tex]S=AC.AD.sin\alpha =4.10.sin60^\circ =40\frac{\sqrt{3} }{2 }=20\sqrt{3}[/tex]

[Гост]

Много благодаря за отделеното внимание ^_^