Математика 12 клас пресметнете

[Гост]

[tex]\frac{2}{5+\sqrt{3} }[/tex] + [tex]\frac{6}{3-\sqrt{3} }[/tex]

[Knowledge Greedy]

Трябва да знаем как се разширява дроб.
[tex]\frac{a}{b }=\frac{ac}{bc }[/tex] (това е обратното действие на действието съкращаване.)
Казваме, че сме разширили дробта с числото [tex]c[/tex].

Трябва да знаем какво са ирационално спрегнати изрази.
Двата израза [tex]a+\sqrt{b}[/tex] и [tex]a-\sqrt{b}[/tex] са ирационално спрегнати.
Хубавото на тези изрази е, че като се умножат - квадратните корени изчезват.
Ето [tex](a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-(\sqrt{b} )^2=a^2-b[/tex]

Сега да съчетаем двете свойства - на всяка от дробите да премахнем корена от знаменателя.
За тази цел да разширим всяка от дробите с множител, спрегнат на нейния знаменател
[tex]\frac{2}{a+\sqrt{b} }=\frac{2(a-\sqrt{b})}{ (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) } =\frac{2(a-\sqrt{b})}{a^2-(\sqrt{b} )^2 } =\frac{2(a-\sqrt{b})}{ a^2-b}[/tex]

Първата
[tex]\frac{2}{5+\sqrt{3} }=\frac{2(5-\sqrt{3})}{ (5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3}) } =\frac{2(5-\sqrt{3})}{5^2-(\sqrt{3} )^2 } =\frac{2(5-\sqrt{3})}{ 5^2-3}[/tex][tex]=\frac{\cancel{2}(5-\sqrt{3})}{\cancel{22} }=\frac{5-\sqrt{3}}{11 }[/tex]
Втората
[tex]\frac{6}{3-\sqrt{3} }=\frac{6(3+\sqrt{3})}{ (3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) } =\frac{6(3+\sqrt{3})}{3^2-(\sqrt{3} )^2 } =\frac{6(3+\sqrt{3})}{ 3^2-3}[/tex][tex]=\frac{\cancel{6}(3+\sqrt{3})}{\cancel{6} }=3+\sqrt{3}[/tex]

Остава да ги съберем, а за тази цел привеждаме към общ знаменател [tex]11[/tex].
[tex]\frac{5-\sqrt{3}+33+11\sqrt{3}}{11 }=\frac{38+10\sqrt{3}}{11 }[/tex]