Производни

[mmmmmm]

Някой може ли да обясни тези задачки:

1) [tex]f(x)=ax^2-2ax+1[/tex]. Допирателната към графиката на функцията в точката с абсциса [tex]x_0=2[/tex] има уравнение [tex]y=6x-11[/tex]. Стойността на [tex]a[/tex] e:

2) Функцията [tex]y=(x-1)^2(x+2)^3[/tex] има локален минимум:
Отг.: В точката [tex]x=-2[/tex]

Намирам първата производна на функцията и я приравнявам на [tex]0[/tex], откъдето излизат три корена, които са екстремумите ?. Като намеря втората производна и заместя с корените, които получавам, всичко се обърква...

Благодаря!

[martin123456]

2
[tex]y'=2(x-1)(x+2)^3+(x-1)^23(x+2)^2=(x-1)(x+2)^2(5x+1)[/tex]. [tex]x_1=-2[/tex], [tex]x_2=-\frac{1}{5}[/tex], [tex]x_3=1[/tex]. производната си сменя знак само в [tex]x_{2,3}[/tex]. значи само там има лок екстремуми. тъй като [tex]y'<0[/tex]<=>[tex]x \in (-\frac{1}{5},1)[/tex], значи има лок минимум в [tex]x_3[/tex]

[martin123456]

1
[tex]y=f(a)+f'(a)(x-a)[/tex] е уравнението на допирателната в [tex]a[/tex] към графа на [tex]f(x)[/tex].
[tex]y=f(2)+(2ax-2a)|_2(x-2)=2ax-4a+1[/tex]
по условие [tex]y \equiv 6x-11[/tex]=>[tex]2ax-4a+1=6x-11[/tex] има решение за всяко x, [tex]2x(a-3)=4(a-3)[/tex], [tex](a-3)(x-2)=0[/tex]=>[tex]a=3[/tex]

[mmmmmm]

1
[tex]y=f(a)+f'(a)(x-a)[/tex] е уравнението на допирателната в [tex]a[/tex] към графа на [tex]f(x)[/tex].
[tex]y=f(2)+(2ax-2a)|_2(x-2)=2ax-4a+1[/tex]

[tex]y=f(a)+f'(a)(x-a)[/tex]
и
[tex]y=f(2)+(2ax-2a)|_2(x-2)=2ax-4a+1[/tex] откъде се взеха?

[martin123456]

първото се нарича уравнение на допирателна към графиката на функцията в точка (а, f(a)),
второто е като заместим в него