Квадрат вписан в друг квадрат

[Гост]

В квадрат със страна a e вписан друг квадрат. Ако [tex]\alpha =\frac{\pi }{8 }[/tex], то лицето на вписания квадрат е...?

[inveidar]

Какво е това алфа, бре?!

[Гост]

Съжалявам, вчера явно е станала грешка при прикачването на чертежа.

[pal702004]

Имаме 4 еднакви правоъгълни триъгълника с хипотенуза страната на вписаният квадрат и ъгли [tex]\alpha[/tex] и [tex]90-\alpha[/tex] И сбора от дължините на катетите им е равен на "a" - страната на големият квадрат. Да означим катетите с [tex]u,v[/tex]

[tex]\frac u v=\tan{\alpha}=\tan{\frac{\pi}{8}}=\sqrt 2 -1[/tex]
[tex]u+v=a[/tex]
Търсим [tex]2uv[/tex] - сбора от лицата на 4-те триъгълника

[tex]v=\frac{a}{\sqrt 2},\quad u=\frac{a(\sqrt 2 -1)}{\sqrt 2}[/tex]

[tex]2uv=a^2(\sqrt 2 -1)[/tex]
[tex]S_{FCHE}=a^2-a^2(\sqrt 2 -1)=a^2(2-\sqrt 2)[/tex]

На чертежа ти ъгъл [tex]\alpha[/tex] е повечко от[tex]\frac{\pi}{8}[/tex], по му отива да е другият, но за решението няма значение.

[Гост]

Здравей, благодаря за решението. Може ли да ми обясниш как намираш [tex]v[/tex] и [tex]u[/tex]?

[pal702004]

От системата
[tex]\frac u v=\sqrt 2-1[/tex]
[tex]u+v=a[/tex]