Стойност на синусов израз

[Гост]

Ако [tex]sin\alpha -cos\alpha =\frac{1}{2 }[/tex], то стойността на [tex]sin^4\alpha +cos^4\alpha[/tex] е?

[Гост]

Тук каква е идеята, някой може ли да предложи нещо хитро?

[Добромир Глухаров]

[tex]sin\alpha-cos\alpha=\frac{1}{2}\Rightarrow(sin\alpha-cos\alpha)^2=\frac{1}{4}\Rightarrow sin^2\alpha-2sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha=\frac{1}{4}\Rightarrow\\ \Rightarrow 1-2sin\alpha cos\alpha=\frac{1}{4}\Rightarrow 2sin\alpha cos\alpha=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}[/tex]

[tex](sin^2\alpha+cos^2\alpha)^2=sin^4\alpha+2sin^2\alpha cos^2\alpha+cos^4\alpha\Rightarrow\\ \Rightarrow 1^2=sin^4\alpha+cos^4\alpha+\frac{1}{2}\cdot 4sin^2\alpha cos^2\alpha\Rightarrow\\ \Rightarrow sin^4\alpha+cos^4\alpha=1-\frac{1}{2}\cdot(2sin\alpha cos\alpha)^2=1-\frac{1}{2}\cdot\(\frac{3}{4}\)^2=1-\frac{9}{32}=\frac{23}{32}[/tex]