Радиус на описаната окръжност

[Гост]

Периметърът на равнобедрен триъгълник е 56см, а радиусът на вписанат в триъгълника окръжност е 2/7 от височината към основата. Да се намерят дължините на страните и радиусът на описаната около триъгълника окръжност.
- Тук страните лесно ги намирам че са: 20,20,16. Но как да намеря радиусът на описаната окръжност?

[Гост]

abc/4R =S

[Гост]

abc/4R =S

Да, но не знаем S

[monika_at]

Намери височината към основата по питагорова теорема. Тогава вече може да използваш формулата за лице и радиус на описаната окръжност. Може да ползваш и нещо по-лесно. За всеки триъгълник:

[tex]R=\frac{a.b}{2h_c }[/tex]- тази формула се извежда още в 9 клас с помощта на подобни триъгълници.

[Гост]

Щом знаеш трите страни на триъгълника знаеш и лицето. Има една формула на Херон...

[inveidar]

Щом знаеш трите страни на триъгълника знаеш и лицето. Има една формула на Херон...

А, това е друг въпрос.

[Гост]

Тази формула приложима ли е, ако в описаната окръжност има вписан трапец?

[Mario_Koparanov]

Можеш да използваш синусовата теорема: S = a/sin(alpha) = b/sin(beta) = c/sin(gamma) = 2R. Можеш да използваш и тази: S = (abc)/4R. А лицето на триъгълника да го намериш по Хероновата формула.

[S.B.]

Периметърът на равнобедрен триъгълник е 56см, а радиусът на вписанат в триъгълника окръжност е 2/7 от височината към основата. Да се намерят дължините на страните и радиусът на описаната около триъгълника окръжност.
- Тук страните лесно ги намирам че са: 20,20,16. Но как да намеря радиусът на описаната окръжност?

Още един поглед върху задачата:

Без заглавие - 2025-11-04T104812.840.png (276.99 KiB) Прегледано 1435 пъти

[tex]CH \bot AB, CH = h \Rightarrow BH = \frac{1}{2}AB[/tex]
[tex]P_{ABC } = 56 , AB = 2x \Rightarrow AC = BC = \frac{56 - 2x}{2}[/tex]
[tex]JH = r = \frac{2}{7}.h \Rightarrow J[/tex] е център на вписаната окръжност и $BJ$ е ъглополовяща.
За [tex]\triangle HBC[/tex] прилагам свойството на ъглополовящата:
[tex]\frac{HJ}{CJ} = \frac{HB}{CB} \Leftrightarrow \frac{2}{5}= \frac{}{ \frac{56-2x}{2} } \Leftrightarrow 56-2x = 5x \Rightarrow x = 8[/tex]
$$\Rightarrow AB = 2x =16 , AC = BC = 20$$
За [tex]\triangle BHC[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам [tex]h = CH = 4 \sqrt{21}[/tex]
Продължението на височината $CH$ пресича описаната окръжност в т.[tex]C_{1 } , C C_{1 } = 2R, \triangle C C_{1 }B[/tex] e правоъгълен , а [tex]BH \bot C C_{1 }[/tex] е негова височина към хипотенузата [tex]CC_{1 }[/tex]
От метричните свойства в правоъгълния триъгълник имаме:
[tex]BH^{2 } CH.H C_{1 } \Leftrightarrow BH^{2 } = h(2R - h) \Leftrightarrow 64 = 4 \sqrt{21}(2R - 4 \sqrt{21})[/tex]
Окончателно получаваме:
$$R = \frac{50 \sqrt{21} }{21} $$