Външно вписана окръжност

[Гост]

Окръжността k(O;r) е външно вписана за правоъгълния [tex]\Delta ABC[/tex]. Ако точките M, P и N са допирните точки на k до AB, AC и BC и [tex]S^_{OMBN}=36cm^2[/tex] , а [tex]AC=12(\sqrt{2} -1)[/tex]см, то радиусът на вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност е?

[Anubis]

Нека окръжността е външновписана към хипотенузата [tex]AB=c[/tex] на триъгълника. Означаваме

[tex]AP=AM=x[/tex], тогава [tex]BM=BN=c-x[/tex]. Тъй като [tex]CP=CN[/tex] (равни допирателни към вписаната

окръжност), то [tex]b+x=a+c-x \Rightarrow x=p-b[/tex], т. е. [tex]AP=AM=p-b, \, BM=BN=p-a[/tex].

[tex]PONC[/tex] е квадрат, откъдето [tex]r=PO=ON=NC=p[/tex].

[tex]S_{OMBN}=S_{\triangle OMB}+S_{\triangle OBN}=\frac{OM.MB}{2}+\frac{ON.NB}{2}=\frac{p(p-a)}{2}+\frac{p(p-a)}{2}=p(p-a)=36[/tex]

[tex]\begin{array}{||} p(p-a)=36 \\ b=12(\sqrt{2}-1) \\ a^2+b^2=c^2 \end{array} \Rightarrow a=6\sqrt{2\sqrt{2}-1}, \, b=12(\sqrt{2}-1), \, c=6(3-\sqrt{2})[/tex]

Накрая използваме формулата [tex]r=\frac{a+b-c}{2}[/tex], защото триъгълникът е правоъгълен.

Забележка. Трябва да се разгледат и другите два случая, когато окръжността е външна към катетите.