Тригонометрично уравнение с параметър

[Гост]

Здравейте, имам нужда от помощ
Задача: Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които уравнението има решение: [tex]sin^{4}x[/tex] + [tex]cos^{4}x[/tex]=[tex]a*sin2x[/tex] + [tex]\frac{a}{2 }[/tex]

Когато го опростя стигам до: [tex]1-\frac{sin^{2}2x}{2 }=a*sin2x+\frac{a}{ 2}[/tex] , след това полагам [tex]sin2x=y[/tex] , [tex]y\in[-1;1][/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]-y^{2}-2ay-a+2=0[/tex] стигам дотук и не мога да продължа, защото получавам отрицателна дискриминанта.

[MENKA]

Вие получавате D=a²-a+2,което е >0 за което и да е а,защото пред а² коефициентът е 1>0
Вижте отговорът не е ли което и да е а.

[Гост]

благодаря много пропуснала съм го този детайл, но отговора е [tex]a\in(-\infty;-1 ]\cup[\frac{1}{3 };+\infty)[/tex]

[Knowledge Greedy]

Вие получавате D=a²-a+2,което е >0 за което и да е а...
Вижте отговорът не е ли което и да е а.

MENKA, това е само необходимо условие. Малко по-горе гостът е положил [tex]sin2x=y , y\in[-1;1][/tex], което налага да търсим не каквито и да е корени, а удовлетворяващи условието [tex]y\in[-1;1][/tex].

За тази цел разглеждаме съвкупността от три независими условия - първото е за наличие точно на един от корените [tex]y_1[/tex] или [tex]y_2[/tex] да е в интервала [tex](-1;)[/tex], а второто-системата е условието и двата корена на уравнението [tex]y^{2}+2ay-a+2=0[/tex] да са в интервала [tex](-1;)[/tex]:
[tex]\left\{\begin{matrix}
f(-1).f(1)<0 &\\
&\left|\begin{matrix}
D\ge 0 & &\\
-1\le \frac{y_1+y_2}{2 }& &=-a\le 1 \\
f(-1)> 0 & &\\
f(1) > 0 & &\\
\end{matrix}\right
\end{matrix}\right.[/tex]

(Тук [tex]f(y)[/tex] е, разбира се квадратната функция [tex]f(y)=y^{2}+2ay-a+2[/tex].)

Решенията на първото условие [tex]a\in(-\infty;-1 )\cup(\frac{1}{3 };+\infty)[/tex] идват от [tex]f(-1).f(1)<0\Leftrightarrow (-a-1)(3a-1)<0[/tex].
Второто условие - системата дава:
[tex]\left|\begin{matrix}
D>0 \Rightarrow \forall a\\ & \\
-1\le a> 1& \\
f(-1) > 0\Leftrightarrow a< -1 & \\
f(1) >0\Leftrightarrow a> \frac{1}{3 } &
\end{matrix}\right[/tex] - няма решение.

Така, дотук отговорът е [tex]\forall a\in(-\infty;-1 )\cup(\frac{1}{3 };+\infty)[/tex].

Остава да се провери и третото, кога решения (за [tex]y[/tex])са точно числата [tex]-1[/tex] и [tex]1[/tex] - краищата на интервала. Оказва се точно за [tex]a=-1[/tex] и [tex]a=\frac{1}{3 }[/tex]